Question

Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Gọi D là trung điểm của BC, từ D hạ DE, DF vuông góc với AB, AC theo thứ tự (E thuộc AB, F thuộc AC).

a) Cm: tam giác AED=AFD và AD là trung trực của EF.

b) Trên tia đối của tia DE lấy điểm K sao cho DK=DE. Cm: Tam giác EKC vuông.

c) So sánh BF và EK.

Answer 1

Xét tam giác vuông AED và tam giác vuông AFD, có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EAD}=\widehat{FAD}\\AD.chung\end{matrix}\right.\)(ABC cân; AD là trung điểm (1) )

\(\Rightarrow\Delta AED=\Delta AFD\left(ch-gn\right)\) (2)

Từ (1) \(\Rightarrow\) AD là đường cao đồng thời là trung điểm

\(\Rightarrow AD\) là trung trực của EF.

b) Xét tam giác CKD và tam giác BED, có:

\(\left\{{}\begin{matrix}CD=DB\left(gt\right)\\\widehat{CDK}=\widehat{BDE}\left(đđ\right)\\KD=KE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CKD=\Delta BED\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{K}=\widehat{E}\) (2 cạnh t/ứng)

Mà \(\widehat{E}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{K}=90^o\)

Mà \(\widehat{K}\in\Delta EKC\Rightarrow\Delta EKC\) vuông tại K (ĐPCM)

c) Ta có: \(CF=EB\left(\Delta EBD=\Delta KCD=\Delta FCD\right)\)

Xét tam giác CFB và tam giác BEC, có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{FCB}=\widehat{EBC}\left(gt\right)\\CF=EB\left(cmt\right)\\CB.Chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CFB=\Delta BEC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow FB=EC\) (2 cạnh t.ứng) (*)

Ta có: \(\Delta CKE\) vuông tại K

\(\Rightarrow CE>KE\) (CE là cạnh huyền) (**)

Từ (*) và (**) \(\Rightarrow FB>KE\) (ĐPCM)