Question

Cho tam giác ABC vuông tại C có góc A là 60⁰. Tia phân giác góc BAC cắt BC ở E. Kẻ EK vuông góc với AB ở K. Kẻ BD vuông góc với AE ở D.

a)Chứng minh: AC = AK và CK ⊥ AE

b) Chứng minh: AB = 2AC

c) Chứng minh EB > AC

d) Chứng minh AC, EK và BD là ba đường thẳng đồng quy

Answer 1

a, Xét ∆ ACE và ∆ AKE có:

Góc CAE = góc KAE (AE là p/g)

AE chung

➡️∆ ACE = ∆ AKE (ch - gn)

➡️AC = AK (2 cạnh t/ư)

b, Vì AE là p/g góc CAK (gt)

➡️Góc CAE = góc KAE = 60° ÷ 2 = 30° (1)

Ta có: góc CAK + góc ABC = 90°

➡️Góc ABC = 90° - 60° = 30° (2)

Từ (1) và (2) ➡️góc KAE = góc ABC = 30°

➡️∆ ABE cân tại E

➡️EB =AE

Xét ∆ ACE có góc C = 90°

➡️AE là cạnh lớn nhất (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

➡️AE lớn hơn AC

mà AE = EB

➡️EB lớn hơn AC (đpcm)

c, Gọi giao điểm của BD, EK và AC là M.

Xét ∆ ABM có:

AD ⊥ BM

MK ⊥ AB

BC ⊥ AM

AD, MK và BC giáo nhau tại E

➡️E là trực tâm

∆ ABM

➡️AC, BD và EK đồng quy (đpcm)

Chúc bạn học tốt! Nhớ tick cho mk nha 😊

Answer 2

Xet tam giác ACB và tam giác AKE có

AE chung ; ^CAE = ^KAE ; ^C = ^K = 90 độ

=> tam giác ACE = tam giác AKE ( ch-gn )

b) tam giác ACE = tam giác AKE ( câu a)

=> AC = AK ; CE = KE

=> A và E thuộc đường trung trực CK

=> AE là đường trung trực của CK

Nên AE vuông góc vs CK

c) Chứng minh EB > EC nha bạn

Ta có KEB vuông tại K

=> EB > KE ( 1)

Mà KE = CE ( câu b ) (2)

=> EB>CE

c ) sorry bạn mink chưa học tới

Answer 3

a) Cm AC=AK?

Xét ΔACE và ΔAKE(\(\widehat{ACE}\)=\(\widehat{AKE}\)=90^o)có:

\(\widehat{CAE}\)=\(\widehat{KAE}\) (vì AE là đường phân giác )

AE chung

⇒ΔACE=ΔAKE(ch-gn)

Cm CK⊥AE?

Ta có : AC=AK(vì ΔACE=ΔAKE)

⇒ΔACK cân

Do đó A thuộc đường trung trực của AE(1)

Ta lại có : CE=EK( vì ΔACE=ΔAKE)

⇒ΔCEk cân

Do đó E thuộc đường trung trực của AE(2)

Từ (1) và (2)⇒AE vuông góc với CK