Question

Cho tam giác ABC vuông tại B, dường cao BH.

a) Chứng minh rằng hai tam giác HBA và HCB đồng dạng và HB²=HC. HA.

b) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ H xuống AB và BC. Chứng mình rắng MN=BH.

c) Lấy 1 là trung diềm HC, K là trung điếm AH. Tứ giác MNIK là hình gì? Vì sao?

d) So sánh diện tích từ giảc MNIK và diện tích tam giác ABC.

Answer 1

a) + \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABH}+\widehat{HBC}=90^o\\\widehat{BCH}+\widehat{HBC}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{BCH}\)

+ ΔHBA ∼ ΔHCB ( g.g )

\(\Rightarrow\frac{HB}{HA}=\frac{HC}{HB}\Rightarrow BH^2=AH\cdot CH\)

b) Tứ giác BMHN có \(\widehat{MBN}=\widehat{BMH}=\widehat{BNH}=90^o\)

=> Tứ giác BMHN là hình chữ nhật

=> MN = BH

c) Gọi O là giao điểm 2 đg chéo hình chữ nhật BMHN

thì OM = ON = OH = OB

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OMH}=\widehat{OHM}\\\widehat{ONH}=\widehat{OHN}\end{matrix}\right.\)

+ ΔAMH vuông tại M, đg trung tuyến MK

=> MK = AK = HK

=> ΔKHM cân tại K \(\Rightarrow\widehat{KMH}=\widehat{KHM}\)

+ Tương tự ta cm đc : \(\widehat{INH}=\widehat{IHN}\)

Do đó : \(\widehat{KMH}+\widehat{HMO}+\widehat{HNO}+\widehat{HNI}=\widehat{KHM}+\widehat{MHO}+\widehat{NHO}+\widehat{NHI}\)\(\Rightarrow\widehat{KMN}+\widehat{MNI}=\widehat{KHI}=180^o\)

=> MK // NI => Tứ giác MNIK là hình thang

d) + MK + NI = HK + HI \(=\frac{1}{2}AC\)

+ Diện tích ΔABC là : \(S_{ABC}=\frac{1}{2}BH\cdot AC\)

+ Diện tích hình thang MNIK là :

\(S_{MNIK}=\frac{1}{2}\left(MK+NI\right)\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot\frac{1}{2}AC\)

\(\Rightarrow\frac{S_{MNIK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\)