Câu a
Xét ∆ABC và ∆HBA
Góc H = góc A = 900
Chung góc B
=> ∆ABC đồng dạng ∆HBA (góc góc)
=>\(\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{AC}{AH}\) (tỉ lệ cặp cạnh tương ứng)
=> \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BH}{AH}\)(1)
mà ta có BM = \(\dfrac{1}{2}BH\); AN =\(\dfrac{1}{2}AH\)(2)
Từ (1)(2) =>\(\dfrac{BM}{AN}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BH}{\dfrac{1}{2}AH}=\dfrac{AB}{AC}\)
Xét ∆ABM và ∆CAN, Ta có:
Góc B = góc A1 (do cùng phụ góc BAH)
\(\dfrac{BM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}\)
=> ∆ABM đồng dạng ∆CAN (cạnh góc cạnh)
Câu b
ta có BM = MH (M là trung điểm BH)
AN = NH (N là trung điểm AH)
=> MN là đường trung bình tam giác ABH
=> MN // AB => MN vuông góc AC (vì AB vuông góc AC)
Xét tam giác MAC có:
- MN là đường cao
- AH là đường cao
MN và AH cắt nhau tại N => CN là đường cao ứng với cạnh AM (tính chất 3 đường cao đồng quy tại trực tâm)
=> CN vuông góc AM