Xét ΔABC có AB<AC(gt)
mà hình chiếu của AB trên BC là HB(AH⊥BC)
và hình chiếu của AC trên BC là HC(AH⊥BC)
nên HB<HC(Định lí về quan hệ giữa đường xiên, hình chiếu)
mà HB+HC=BC(H nằm giữa B và C)
nên \(2\cdot HB< BC\)
\(\Leftrightarrow2\cdot HB< 25\)
hay \(HB< \frac{25}{2}=12.5cm\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AH^2=HB\cdot HC\)
\(\Leftrightarrow12^2=HB\cdot\left(BC-HB\right)\)
\(\Leftrightarrow HB\cdot25-HB^2=144\)
\(\Leftrightarrow-HB^2+25\cdot HB-144=0\)
\(\Leftrightarrow HB^2-25\cdot HB+144=0\)
\(\Leftrightarrow HB^2-9\cdot HB-16\cdot HB+144=0\)
\(\Leftrightarrow HB\left(HB-9\right)-16\left(HB-9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(HB-9\right)\left(HB-16\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}HB-9=0\\HB-16=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}HB=9cm\left(nhận\right)\\HB=16cm\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có: HB+HC=BC(H nằm giữa B và C)
hay HC=BC-HB=25-9=16(cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=9\cdot25=225\\AC^2=16\cdot25=400\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=15cm\\AC=20cm\end{matrix}\right.\)
Vậy: HB=9cm; HC=16cm; AB=15cm; AC=20cm
