Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ AE vuông góc BD, AE cắt BC tại K.

a) Biết AC=8cm, AB=6cm. Tính BC?

b) Tam giác ABK là tam giác gì?

c) Chứng minh DK vuông góc BC.

d) Kẻ AH vuông góc BC. Chứng minh AK là tia phân giác của góc HAC.

Answer 1

a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông, ta có:
BC² = AB² + AC²
\(\Rightarrow\) BC² = 6² + 8²
\(\Rightarrow\) BC² = 100
\(\Rightarrow\) BC² = \(\sqrt{100}=10\)
Vậy BC = 10cm.

b) Hai tam giác vuông AEB và KEB có:
\(\widehat{ABD}=\widehat{KBD}\) (BD là tia phân giác của \(\widehat{B}\))
BE là cạnh chung
\(\Rightarrow\) \(\Delta AEB=\Delta KEB\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
\(\Rightarrow\) AB = AK (hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\) \(\Delta ABK\) cân tại A
Vậy tam giác ABK là tam giác cân.

c) \(\Delta ABD\) và \(\Delta KBD\) có:
BA = BK (\(\Delta AEB=\Delta KEB\))
\(\widehat{ABD}=\widehat{KBD}\) (BD là tia phân giác của \(\widehat{B}\))
BD là cạnh chung
\(\Rightarrow\) \(\Delta ABD=\Delta KBD\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{BAD}=\widehat{BKD}\)
mà \(\widehat{BAD}\) \(=90^o\)(tam giác ABC vuông tại A)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BKD}\) \(=90^o\)
\(\Rightarrow\) DK \(\perp\) BC

d) Hai tam giác vuông AED và KED có:
DA = DK (\(\Delta ABD=\Delta KBD\))
ED là cạnh chung
\(\Rightarrow\) \(\Delta AED=\Delta KED\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DAE}\) = \(\widehat{DKE}\) (hai góc tương ứng)
Ta có: AH \(\perp\) BC, DK \(\perp\) BC
\(\Rightarrow\) AH // DK
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EAH}\) = \(\widehat{DKE}\) (hai góc so le trong)
mà \(\widehat{DAE}\) = \(\widehat{DKE}\) (cmt)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EAH}\) = \(\widehat{DAE}\) (cùng bằng \(\widehat{DKE}\))
\(\Rightarrow\) AK là tia phân giác của góc HAC