Question

cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH

a)Chứng minh tam giác ABC đồng dạng cới tam giác HCA. Từ đó suy ra AC.AH=CH.AB

b)Tia phân giác của góc ACB cắt AH tại D. Biết CH=9cm; AC=15cm.

Tính AD;HD

c)Tia Phân giác của góc HAB cắt Bc tại I. Chứng minh ID //AB

Answer 1

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

\(\widehat{ACB}\) chung

Do đó: ΔABC đồng dạng với ΔHAC

=>\(\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{AB}{AH}\)

=>\(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{HC}{AC}\left(1\right)\)

=>\(AH\cdot AC=AB\cdot HC\)

b: Ta có: ΔAHC vuông tại H

=>\(HA^2+HC^2=AC^2\)

=>\(HA^2=15^2-9^2=144\)

=>\(HA=\sqrt{144}=12\left(cm\right)\)

Xét ΔCAH có CD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{HD}{HC}\)

=>\(\dfrac{AD}{15}=\dfrac{HD}{9}\)

=>\(\dfrac{AD}{5}=\dfrac{HD}{3}\)

mà AD+HD=AH=12cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{5}=\dfrac{HD}{3}=\dfrac{AD+HD}{5+3}=\dfrac{12}{8}=1,5\)

=>\(AD=1,5\cdot5=7,5\left(cm\right);HD=3\cdot1,5=4,5\left(cm\right)\)

c: Xét ΔHAB có AI là phân giác

nên \(\dfrac{HI}{IB}=\dfrac{AH}{AB}\)(2)

Ta có: \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{HD}{HC}\)

=>\(\dfrac{HD}{HC}=\dfrac{AD}{AC}\)

=>\(\dfrac{HD}{DA}=\dfrac{HC}{AC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{HD}{DA}=\dfrac{HI}{IB}\)

Xét ΔHAB có \(\dfrac{HD}{DA}=\dfrac{HI}{IB}\)

nên DI//AB