a)
Ta có: BC=BH+CH(H nằm giữa B và C)
hay BC=4+9=13cm
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=4\cdot13=52\\AC^2=9\cdot13=117\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}cm\\AC=\sqrt{117}=3\sqrt{13}cm\end{matrix}\right.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
\(\Leftrightarrow AH\cdot13=2\sqrt{13}\cdot3\sqrt{13}\)
\(\Leftrightarrow AH\cdot13=78\)
hay AH=6cm
Xét tứ giác AEHD có
\(\widehat{AEH}=90^0\)(HE⊥AC)
\(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AC, D∈AB)
\(\widehat{ADH}=90^0\)(HD⊥AB)
Do đó: AEHD là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒AH=ED(hai đường chéo của hình chữ nhật AEHD)
mà AH=6cm(cmt)
nên DE=6cm
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB(gt) nên ta được:
\(AH^2=AD\cdot AB\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC(gt) nên ta được:
\(AH^2=AE\cdot AC\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)(đpcm)
