Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BH, AH. Chứng minh rằng:

a) ABM ∆ đồng dạng CAN ∆ .

b) AM ⊥ CN

Answer 1

a) Xét △ABC và △HBA có

góc A = góc H (=90^o)

góc B chung

=> △ABC ~ △HBA (g.g)

---("~" nghĩa là đồng dạng nha bạn ^.^)---

=>\(\frac{AB}{BH}=\frac{AC}{AH}\)(2 cặp cạnh tương ứng của 2△~)

=>\(\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{AH}\)

vì M là trung điểm của BH (gt) => BH = 2MB

vì N là trung điểm của AH (gt) => AH = 2AN

Ta có:\(\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{AH}\)

=>\(\frac{AB}{AC}=\frac{2MB}{2AN}\)

=>\(\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{AN}\)(1)

Xét △AHC vuông tại H có :

góc HAC + góc BCA = 90^o

Xét △ABC vuông tại A có :

góc ABC + góc BCA = 90^o

=> góc HAC = góc ABC (cùng phụ với góc BCA)

hay góc NAC = góc ABM

=> góc ABM = góc NAC (2)

từ (1) và (2) => △ABM ~ △CAN (c.g.c)

b) Xét △ABH có :

M là trung điểm của BH (gt)

N là trung điểm của AH (gt)

=> MN là đường trung bình của △ABH

=> MN // AB (t/c đường trung bình trong △)

mà AB ⊥ AC (vì góc BAC = 90^o theo gt)

=> MN ⊥ AC

Xét △MAC có :

MN ⊥ AC (cmt)

AH ⊥ MC (gt)

mà 2 đường cao này giao nhau tại N

=> N là trực tâm của △MAC

=> CN ⊥ AM

Bài này suy nghĩ cũng mệt phết đấy nhưng thôi kệ không sao, bài của bạn đó