Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, điểm D nằm giữa A và H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE =AD. Đường thẳng vuông góc với AH tại D cắt AC tại F. CMR : EB vuông góc EF

Answer 1

Gọi M là giao điểm của EF với BC, N là giao điểm của DF với AB, ta có:
Ta có: DF vuông góc với AH
BC vuông góc với AH
DF song song với BC (hay BM) ABMˆ+BMFˆ=180oABM^+BMF^=180o (2 góc trong cùng phía)
Mà BMFˆBMF^ là góc ngoài của ΔMFCΔMFC nên BMFˆ=MFCˆ+MCFˆBMF^=MFC^+MCF^
ABMˆ+MFCˆ+MCFˆ=180oABM^+MFC^+MCF^=180o
MFCˆ=90oMFC^=90o
AB song song với MF (hay EF) (vì có 2 góc đồng vị bằng nhau) (1)
BAHˆ=DEFˆBAH^=DEF^ (2 góc so le trong)

Xét ΔDEFΔDEF và ΔHABΔHAB có:
EDFˆ=AHBˆ=90oEDF^=AHB^=90o
AH = DE (vì AD +DH = DH + HE)
DEFˆ=HABˆDEF^=HAB^ (ch/minh trên) ΔDEF=ΔHABΔDEF=ΔHAB (cạnh góc vuông - góc nhọn) \Rightarrow DF = BH (2 cạnh tương ứng) Xét ΔADFΔADF và ΔEBHΔEBH có:
BHEˆ=ADFˆ=90oBHE^=ADF^=90o
HE = AD (gt)
BH = DF (ch/minh trên) ΔADF=ΔEHBΔADF=ΔEHB (2 cạnh góc vuông) BEHˆ=FADˆBEH^=FAD^ (2 góc tương ứng)
BE song song với AF (hay AC) (vì có 2 góc so le trong bằng nhau) (2)
Mặt khác: A^=90oA^=90o \Rightarrow BA vuông góc với AC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: BE vuông góc với EF (đpcm)