Chương III - Góc với đường tròn

Quỳnh Hoa Lenka

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc AC. Vẽ đường tròn O đường kính MC cắt BC tại E. Nối BM cắt đường tròn O tại N. Nói AN cắt đường tròn O tại D. Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E. Chứng minh:
a. Tứ giác BANC nội tiếp.
b. CA là phân giác của góc BCD
c. ABED là hình thang.
d. Tìm vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính R nhỏ nhất.

Phương Ann
24 tháng 2 2018 lúc 16:21

Góc với đường tròn

Câu a:

Xét tứ giác ABCN có: \(\widehat{BAC}=\widehat{CNB}=90^0\)

⇒ ABCN nội tiếp

Câu b:

\(M,C,D,N\in\left(O\right)\)

⇒ MCDN nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DCM}+\widehat{DNM}=180^0\)

\(\widehat{DNM}+\widehat{BNA}=180^0\left(\text{2 góc kề bù}\right)\)

\(\widehat{DCM}=\widehat{BNA}\)

\(\widehat{ACB}=\widehat{BNA}\) (ABCN nội tiếp)

\(\widehat{DCM}=\widehat{ACB}\)

⇒ CA là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\)

Câu c:

Vì ABCN nội tiếp nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ANC}=180^0\)

\(\widehat{DNC}+\widehat{ANC}=180^0\left(\text{2 góc kề bù}\right)\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{DNC}\)

\(\widehat{DEC}=\widehat{DNC}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{DC}\text{ của }\left(O\right)\right)\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{DEC}\) tại vị trí đồng vị

⇒ AB // DE

⇒ ABED là hình thang

Câu d:

• Theo gt, ta có: M đx K qua E

mà MK ⊥ BC tại E

⇒ BC là đường trung trực của MK

\(\widehat{BKM}=\widehat{BMK}\)\(\widehat{CKM}=\widehat{CMK}\)

• Tương tự, ta cũng có AB là đường trung trực của IM

\(\widehat{BIA}=\widehat{BMA}\)

• Xét tứ giác BICK có:

\(\widehat{BIC}+\widehat{BKC}=\widehat{BMA}+\widehat{BKM}+\widehat{CKM}=\widehat{BMA}+\widehat{BMK}+\widehat{CMK}=180^0\)

⇒ BICK nội tiếp

• Gọi (O') là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BICK

⇒ O' thuộc đường trung trực của BC

⇒ O'B nhỏ nhất khi O' là trung điểm của BC

mà O'B = O'C = O'K

⇒ ΔKBC vuông tại K

\(\widehat{BKC}=\widehat{BMC}=90^0\)

\(M\equiv A\)

Suy ra đường tròn ngoại tiếp ΔBIK có bán kính R nhỏ nhất khi M trùng A.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
chịu ời
Xem chi tiết
Trần Việt Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Lý lớp 9a1
Xem chi tiết
ekhoavvdd
Xem chi tiết
Nam Vương Thành
Xem chi tiết
nguyễn rose
Xem chi tiết
Johnny
Xem chi tiết
Đức Minh Nguyễn
Xem chi tiết
Vy
Xem chi tiết