Chương III - Góc với đường tròn

nguyễn rose

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên dây BC, kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, chúng cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Gọi D là điểm đối xứng của M qua đường thẳng PQ.

Chứng minh: D nằm trên đường tròn (O).

Akai Haruma
25 tháng 2 2021 lúc 15:45

Hình vẽ:undefined

Bình luận (0)
Akai Haruma
25 tháng 2 2021 lúc 15:52

Lời giải:

Ta có:

$PM\parallel AC$ nên $\widehat{PMB}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{PBM}$ do tam giác $ABC$ cân nên $\widehat{PMB}=\widehat{PBM}$

$\Rightarrow \triangle PBM$ cân tại $P$

$\Rightarrow PB=PM$

Mà $PM=PD$ do tính đối xứng

$\Rightarrow PB=PM=PD$ nên $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $(DBM)$

$\Rightarrow \widehat{BDM}=\frac{1}{2}\widehat{BPM}$ (tính chất góc nt và góc ở tâm cùng chắn 1 cung)

$=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$

Tương tự, $Q$ cũng là tâm ngoại tiếp $(DCM)$

$\Rightarrow \widehat{MDC}=\frac{1}{2}\widehat{MQC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ 

Như vậy:

$\widehat{BDC}=\widehat{BDM}+\widehat{MDC}=\widehat{BAC}$

Kéo theo $D\in (ABC)$

Ta có đpcm.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Chi Nguyễn
Xem chi tiết
2008
Xem chi tiết
 Huyền Trang
Xem chi tiết
Xích U Lan
Xem chi tiết
nam do duy
Xem chi tiết
chịu ời
Xem chi tiết
Lê Thị Thu Thủy
Xem chi tiết
Trần Việt Anh
Xem chi tiết
Mặt Trời
Xem chi tiết