a) - Tứ giác ADHE có: \(\widehat{DAE}=\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^0\)
\(\Rightarrow\)ADHE là hình chữ nhật.
\(\Rightarrow AH=DE\).
- \(\Delta ABC\) vuông tại A có: AH là đường cao.
\(\Rightarrow BH.CH=AH^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
\(\Rightarrow BH.CH=DE^2\)
\(BH.CH=BH.\left(BC-BH\right)=BH.\left(2a-BH\right)=-BH^2+2a.BH=-BH^2+2a.BH-a^2+a^2=-\left(BH-a\right)^2+a^2\le a^2\)
\(\Rightarrow DE^2\le a^2\Rightarrow DE\le a\)
- Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow BH=a\Leftrightarrow\)H là trung điểm BC \(\Leftrightarrow\)\(\Delta ABC\) vuông cân tại A (có \(AB=AC=a\sqrt{2};BC=2a\)).
- Vậy \(Max\left(DE\right)=a\).
b) - \(\Delta ACH\) vuông tại H có: HD là đường cao.
\(\Rightarrow AD.AC=AH^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
\(\Rightarrow AD=\dfrac{AH^2}{AC}\left(1\right)\)
- \(\Delta ABH\) vuông tại H có: HE là đường cao.
\(\Rightarrow AE.AB=AH^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
\(\Rightarrow AE=\dfrac{AH^2}{AB}\left(2\right)\)
- \(\Delta ABC\) vuông tại A có: AH là đường cao.
\(\Rightarrow AB.AC=BC.AH\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
- Từ (1), (2) suy ra:
\(AD.AE=\dfrac{AH^4}{AB.AC}=\dfrac{AH^4}{AH.BC}=\dfrac{AH^3}{2a}\)
\(\Rightarrow S_{ADHE}=\dfrac{AH^3}{2a}\)
- Mà theo câu a) : \(AH\le a\)
\(\Rightarrow S_{ADHE}\le\dfrac{a^3}{2a}=\dfrac{a^2}{2}\)
- Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow BH=a\Leftrightarrow\)H là trung điểm BC \(\Leftrightarrow\)\(\Delta ABC\) vuông cân tại A (có \(AB=AC=a\sqrt{2};BC=2a\)).
- Vậy \(Max\left(S_{ADHE}\right)=\dfrac{a^2}{2}\)
