a) Ta có: \(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow AB=\frac{3AC}{4}\)
Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
⇔\(15^2=\left(\frac{3AC}{4}\right)^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{9AC^2}{16}+AC^2=225\)
\(\Leftrightarrow AC^2\cdot\left(\frac{9}{16}+1\right)=225\)
\(\Leftrightarrow AC^2\cdot\frac{25}{16}=225\)
\(\Leftrightarrow AC^2=225:\frac{25}{16}=225\cdot\frac{16}{25}=144\)
hay \(AC=\sqrt{144}=12cm\)
Ta có: \(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\)
⇒\(\frac{AB}{12}=\frac{3}{4}\)
hay \(AB=\frac{3\cdot12}{4}=\frac{36}{4}=9cm\)
Chu vi của tam giác ABC là:
\(C_{ABC}=AB+AC+BC=9+12+15=36\left(cm\right)\)
Diện tích của tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=9\cdot\frac{12}{2}=9\cdot6=54\left(cm^2\right)\)
b) Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)
nên \(\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\)(tính chất đường phân giác của tam giác)
hay \(\frac{BD}{9}=\frac{CD}{12}\)
Ta có: BD+CD=BC(D nằm giữa B và C)
hay BD+CD=15cm
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{BD}{9}=\frac{CD}{12}=\frac{BD+CD}{9+12}=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}\)
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{BD}{9}=\frac{5}{7}\\\frac{CD}{12}=\frac{5}{7}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=\frac{5\cdot9}{7}=\frac{45}{7}\\CD=\frac{5\cdot12}{7}=\frac{60}{7}\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(BD=\frac{45}{7}cm\); \(CD=\frac{60}{7}cm\)
c) Xét tứ giác AEDF có
\(\widehat{FAE}=90^0\)
\(\widehat{AED}=90^0\)
\(\widehat{AFD\:}=90^0\)
Do đó: AEDF là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Xét hình chữ nhật AEDF có đường chéo AD là phân giác của \(\widehat{FAE}\) nên AEDF là hình vuông(dấu hiệu nhận biết hình vuông)
a, - Áp dụng định lý pi - ta - go vào tam giác ABC vuông tại A có :
\(AB^2+AC^2=BC^2=15^2=225\)
- Ta có : \(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\)
=> \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^2=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{9}{16}\)
=> \(\frac{AB^2}{9}=\frac{AC^2}{16}\)
- Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :
\(\frac{AB^2}{9}=\frac{AC^2}{16}=\frac{AB^2+AC^2}{9+16}=\frac{225}{25}=9\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AB=9\\AC=12\end{matrix}\right.\) ( cm )
=> \(\left\{{}\begin{matrix}C_{ABC}=AB+AC+BC=9+12+15=36\left(cm\right)\\S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=54\left(cm^2\right)\end{matrix}\right.\)
b, Ta có : AD là phân giác của góc A .
=> \(\frac{AC}{DC}=\frac{AB}{BD}=\frac{12}{DC}=\frac{9}{BD}\)
- Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :
\(\frac{12}{DC}=\frac{9}{BD}=\frac{12+9}{DC+BD}=\frac{21}{15}\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}BD=\frac{45}{7}\\DC=\frac{60}{7}\end{matrix}\right.\) ( cm )
c, - Xét tứ giác AFDE có : 3 góc bằng 90o, AD là đường chéo cũng là đường phân giác .
=> Tứ giác AFDE là hình vuông .
Mà 
=> \(AD=\frac{36\sqrt{2}}{7}\)
- Áp dụng pi ta go :
\(2AF^2=AD^2=\left(\frac{36\sqrt{2}}{7}\right)^2=\frac{2592}{49}\)
=> \(AF=\frac{36}{7}\) ( cm )
=> \(\left\{{}\begin{matrix}C_{AEDF}=4.AF=\frac{144}{7}\left(cm\right)\\S_{AEDF}=AF^2=\frac{1296}{49}\left(cm^2\right)\end{matrix}\right.\)
d, - Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có :
\(AB^2=BH.BC=9^2=BH.15\)
=> \(BH=\frac{27}{5}\left(cm\right)\)
=> \(CH=BC-BH=15-\frac{27}{5}=\frac{48}{5}\left(cm\right)\)
=> \(DH=DB-BH=\frac{45}{7}-\frac{27}{5}=\frac{36}{35}\left(cm\right)\)
