Question

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), AH là đường cao. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Gọi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với BC tại B và đường thẳng DE. Gọi N là giao điểm của CM và AH. Chứng minh rằng:
a) ΔABC đồng dạng ΔHBA
b) AH²=BH.CH
c) N là trung điểm của AH

Answer 1

a) Xét ΔABC và ΔHBA có:

∠BAC=∠BHA=90^o

∠ACB=∠HAB(cùng phụ∠ABC)

Do đó, ΔABC∼ΔHBA(gg)

b) VìΔABC∼ΔHBA(cmt)⇒\(\frac{AH}{HC}=\frac{HB}{HA}\)⇔AH²=HB.HC(đpcm)

c) Xét ΔDAN và ΔBAH có:

∠A chung

∠AND=∠AHB=90^o

Do đó, ΔDAN∼ΔBAH(gg)

⇒DN//BH

Mặc khác, D là trung điểm AB⇒DN là đường trung bình của ΔAHB⇒N là trung điểm AH(đpcm)