Question

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao (H \(\in\) BC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.

a) Chứng minh: AM.AB = AN.AC

b) Chứng minh: AM.AN = \(\frac{AH^3}{BC}\)

c) Chứng minh: AB³.CN = AC³.BM

Answer 1

Tự vẽ hình nhé

a) \(CM:AM.AB=AN.AC\)

`text{Xét ΔHAB vuông tại H (AH là đường cao), HM là đường cao (M là hình chiều H lên AB)}`

\(AH^2=AM.AB\left(HTL\right)\left(1\right)\)

`text{Xét ΔHAC vuông tại H (AH là đường cao), HN là đường cao (N là hình chiều H lên AC)}`

\(AH^2=AN.AC\left(HTL\right)\left(2\right)\)

`text{Từ (1) và (2)}` \(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\left(=AH^2\right)\)

b) \(CM:AM.AN=\frac{AH^3}{BC}\)

`text{Xét ΔHAB vuông tại H (AH là đường cao), HM là đường cao (M là hình chiều H lên AB)}`

\(AH^2=AM.AB\left(HTL\right)\\ \Rightarrow AM=\frac{AH^2}{AB}\left(3\right)\)

`text{Xét ΔHAC vuông tại H (AH là đường cao), HN là đường cao (N là hình chiều H lên AC)}`

\(AH^2=AN.AC\left(HTL\right)\\ \Rightarrow AN=\frac{AH^2}{AC}\left(4\right)\)

`text{Xét ΔABC vuông tại H (gt), AM là đường cao (gt)}`

\(AB.AC=AH.BC\left(HTL\right)\\ \Rightarrow AH^3.AB.AC=AH^3.AH.BC\\ \Rightarrow AH^3.AB.AC=AH^4.BC\\ \Rightarrow\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^3}{BC}\\ \Rightarrow\frac{AH^2}{AB}.\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^3}{BC}\\ \Rightarrow AM.AN=\frac{AH^3}{BC}\left(do\left(3\right)\left(4\right)\right)\)

c) `text{Xét ΔHAB vuông tại H (AH là đường cao), HM là đường cao (M là hình chiều H lên AB)}`

\(BH^2=BM.BC\left(HTL\right)\Rightarrow BM=\frac{BH^2}{AB}\left(5\right)\)

`text{Xét ΔHAC vuông tại H (AH là đường cao), HN là đường cao (N là hình chiều H lên AC)}`

\(CH^2=CN.AC\left(HTL\right)\Rightarrow CN=\frac{CH^2}{AC}\left(6\right)\)

`text{Xét ΔHAB vuông tại H (AH là đường cao), HM là đường cao (M là hình chiều H lên AB)}`

Và

`text{Xét ΔHAB vuông tại H (AH là đường cao), HM là đường cao (M là hình chiều H lên AB)}`

\(AB^2=BH.BC\left(HTL\right)\\ AC^2=CH.BC\left(HTL\right)\\ \Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH.BC}{CH.BC}=BH.CH\\ \Rightarrow AB^3.CH=AC^2.BH\\ \Rightarrow AH^4.CH^2=AC^4.BH^2\\ \Rightarrow AB^3.CH^2.AB=AC^3.BH^2.AC\\ \Rightarrow AB^3.\frac{CH^2}{AC}=AC^3.\frac{BH^2}{AB}\\ \Rightarrow AB^3=CN=AC^3.BM\left(do\left(5\right)\left(6\right)\right)\)

Answer 2

Answer 3

a)Xét\(\Delta AHB\) vuông tại H có: \(AH^2=AM.AB\)

Xét\(\Delta AHC\) vuông tại H có: \(AH^2=AN.AC\)

\(\Rightarrow\) AM.AB=AN.AC