Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tia phân giác góc B cắt AC ở D, tia phân giác góc C cắt AB ở E. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Đường thẳng song song với AI kẻ từ E cắt BD tại M. Đường thẳng song song với AI kẻ từ D cắt CE tại N.
a, Tính góc BIC
b, Chứng minh: tam giác ADE vuông cân và AI là phân giác của góc BAC.
c, Chứng minh ED song song với BC và AI vuông góc với BC.
d, chứng minh 4 điểm M,D,N,E cách đều điểm I
a, Xét tam giác ABC vuông cân tại A
=> góc ABC= góc ACB = 45 độ ( t/c)
=> góc CBI= góc BCI =45 độ/2 = 22,5 độ ( do BD và CE là đường phân giác)=> tam giác BIC cân tại I (DHNB)
+) Xét tam giác BIC có
góc CBI + góc BCI + góc BIC =180 độ
=> góc BIC =180 độ - 22,5 độ-22,5độ
=> góc BIC = 135 độ => đpcm
b, Có tam giác BIC cân tại I (cmt)=> IB = IC ( t/c)
+) Xét tam giác AIB và tam giác AIC có
IB =IC (cmt)
AB = AC (tam giác ABC vuông cân)
chung AI
=> góc BAI = góc CAI=> AI là tia phân giác góc BAC
+) Xét tam giác BIE và tam giác CID có
góc BIE = góc CID ( t/c 2goc đối đỉnh)
CI = IB ( cmt)
góc IBE = góc ICD( cùng =22,5độ)
=> tam giác BIE =tam giác CID=> BE = CD ( cạnh tg ứng)
MÀ AB =AC ( tam giác ABC vuông cân tại A)
=> AE =AD
Mà góc ABC =90 độ ; E,B, A thẳng hàng; A,D , C thẳng hàng
=> tam giác EAD vuông cân tại A
+) có tam giác EAD cân tại A
=> góc EDA = (180 độ - góc BAC):2(1)
+) có tam giác BAC cân tại A
=> góc ACB = (180 độ - góc BAC ):2(2)
Từ (1),(2.) => góc ACB = góc EDA
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => ED //BC (DHNB)
+) Gọi AI giao BC tại K
có góc BAI = góc CAI, mà A,I,K thẳng hàng=> góc BAK= góc CAK
+) Xét tam giác BAK và tam giác CAK có
AC =AB( do tam giác ABC vuông cân tại A)
góc BAK =góc CAK (cmt)
Chung AK
=> tam giác BAK = tam giác CAK ( c.g.c- " con gà con"^^)
=> góc AKC= góc AKB (góc tg ứng)
Mà AKC +AKB =180 độ ( t.c 2goc kề bù)
=> góc AKC =90 độ => AK vuông góc BC tại K=> AI vuông góc BC ( A,I ,K thẳng hàng)
+) Xét tam giác IAE và Tam giác IAD có
AE = AD ( cmt)
Góc IAB = Góc IAC (cmt)
Chung AI
=> Tam giác IAE = tam giác IAD( c.g.c)
=> ID = IE ( cạnh tương ứng)
=> IM = IN ( cạnh tương ứng)
+) Xét tam giác MIE và tam giác NID có
MI =IN ( cmt)
Góc DIN = Góc MIE( t/c 2 góc đối đỉnh)
EI = ID (cmt)
=> Tam giác MIE = Tam giác DIN(c.g.c)
=> Góc IDN = góc IEM( góc tg ứng)
MÀ EM//BC( gt)=> Góc EMD = góc IDN ( vì là cặp góc sle trong)
=> góc EMD = góc IEM
=> Tam giác IME cân tại I ( DHNB)
=> IM =IE ( t/c)
MÀ IE =ID(cmt)
IM =IN
=> IM =IE=ID=IN => đpcm
giúp với Ace Legona, Hoang Hung Quan, ngonhuminh, An Nguyễn, Nguyễn Huy Tú, Hoàng Thị Ngọc Anh, Nguyễn Nhật Minh, Nghiêm Gia Phương, Đức Huy ABC, Phạm Nguyễn Tất Đạt... và các bạn khác nữa, mai mình nộp rùi 
a, Xét tam giác ABC vuông cân tại A
=> góc ABC= góc ACB = 45 độ ( t/c)
=> góc CBI= góc BCI =45 độ/2 = 22,5 độ ( do BD và CE là đường phân giác)=> tam giác BIC cân tại I (DHNB)
+) Xét tam giác BIC có
góc CBI + góc BCI + góc BIC =180 độ
=> góc BIC =180 độ - 22,5 độ-22,5độ
=> góc BIC = 135 độ => đpcm
b, Có tam giác BIC cân tại I (cmt)=> IB = IC ( t/c)
+) Xét tam giác AIB và tam giác AIC có
IB =IC (cmt)
AB = AC (tam giác ABC vuông cân)
chung AI
=> góc BAI = góc CAI=> AI là tia phân giác góc BAC
+) Xét tam giác BIE và tam giác CID có
góc BIE = góc CID ( t/c 2goc đối đỉnh)
CI = IB ( cmt)
góc IBE = góc ICD( cùng =22,5độ)
=> tam giác BIE =tam giác CID=> BE = CD ( cạnh tg ứng)
MÀ AB =AC ( tam giác ABC vuông cân tại A)
=> AE =AD
Mà góc ABC =90 độ ; E,B, A thẳng hàng; A,D , C thẳng hàng
=> tam giác EAD vuông cân tại A
+) có tam giác EAD cân tại A
=> góc EDA = (180 độ - góc BAC):2(1)
+) có tam giác BAC cân tại A
=> góc ACB = (180 độ - góc BAC ):2(2)
Từ (1),(2.) => góc ACB = góc EDA
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => ED //BC (DHNB)
+) Gọi AI giao BC tại K
có góc BAI = góc CAI, mà A,I,K thẳng hàng=> góc BAK= góc CAK
+) Xét tam giác BAK và tam giác CAK có
AC =AB( do tam giác ABC vuông cân tại A)
góc BAK =góc CAK (cmt)
Chung AK
=> tam giác BAK = tam giác CAK ( c.g.c- " con gà con"^^)
=> góc AKC= góc AKB (góc tg ứng)
Mà AKC +AKB =180 độ ( t.c 2goc kề bù)
=> góc AKC =90 độ => AK vuông góc BC tại K=> AI vuông góc BC ( A,I ,K thẳng hàng)
+) Xét tam giác IAE và Tam giác IAD có
AE = AD ( cmt)
Góc IAB = Góc IAC (cmt)
Chung AI
=> Tam giác IAE = tam giác IAD( c.g.c)
=> ID = IE ( cạnh tương ứng)
=> IM = IN ( cạnh tương ứng)
+) Xét tam giác MIE và tam giác NID có
MI =IN ( cmt)
Góc DIN = Góc MIE( t/c 2 góc đối đỉnh)
EI = ID (cmt)
=> Tam giác MIE = Tam giác DIN(c.g.c)
=> Góc IDN = góc IEM( góc tg ứng)
MÀ EM//BC( gt)=> Góc EMD = góc IDN ( vì là cặp góc sle trong)
=> góc EMD = góc IEM
=> Tam giác IME cân tại I ( DHNB)
=> IM =IE ( t/c)
MÀ IE =ID(cmt)
IM =IN
=> IM =IE=ID=IN => đpcm
a, Xét tam giác ABC vuông cân tại A
=> góc ABC= góc ACB = 45 độ ( t/c)
=> góc CBI= góc BCI =45 độ/2 = 22,5 độ ( do BD và CE là đường phân giác)=> tam giác BIC cân tại I (DHNB)
+) Xét tam giác BIC có
góc CBI + góc BCI + góc BIC =180 độ
=> góc BIC =180 độ - 22,5 độ-22,5độ
=> góc BIC = 135 độ => đpcm
b, Có tam giác BIC cân tại I (cmt)=> IB = IC ( t/c)
+) Xét tam giác AIB và tam giác AIC có
IB =IC (cmt)
AB = AC (tam giác ABC vuông cân)
chung AI
=> góc BAI = góc CAI=> AI là tia phân giác góc BAC
+) Xét tam giác BIE và tam giác CID có
góc BIE = góc CID ( t/c 2goc đối đỉnh)
CI = IB ( cmt)
góc IBE = góc ICD( cùng =22,5độ)
=> tam giác BIE =tam giác CID=> BE = CD ( cạnh tg ứng)
MÀ AB =AC ( tam giác ABC vuông cân tại A)
=> AE =AD
Mà góc ABC =90 độ ; E,B, A thẳng hàng; A,D , C thẳng hàng
=> tam giác EAD vuông cân tại A
+) có tam giác EAD cân tại A
=> góc EDA = (180 độ - góc BAC):2(1)
+) có tam giác BAC cân tại A
=> góc ACB = (180 độ - góc BAC ):2(2)
Từ (1),(2.) => góc ACB = góc EDA
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => ED //BC (DHNB)
+) Gọi AI giao BC tại K
có góc BAI = góc CAI, mà A,I,K thẳng hàng=> góc BAK= góc CAK
+) Xét tam giác BAK và tam giác CAK có
AC =AB( do tam giác ABC vuông cân tại A)
góc BAK =góc CAK (cmt)
Chung AK
=> tam giác BAK = tam giác CAK ( c.g.c- " con gà con"^^)
=> góc AKC= góc AKB (góc tg ứng)
Mà AKC +AKB =180 độ ( t.c 2goc kề bù)
=> góc AKC =90 độ => AK vuông góc BC tại K=> AI vuông góc BC ( A,I ,K thẳng hàng)
+) Xét tam giác IAE và Tam giác IAD có
AE = AD ( cmt)
Góc IAB = Góc IAC (cmt)
Chung AI
=> Tam giác IAE = tam giác IAD( c.g.c)
=> ID = IE ( cạnh tương ứng)
=> IM = IN ( cạnh tương ứng)
+) Xét tam giác MIE và tam giác NID có
MI =IN ( cmt)
Góc DIN = Góc MIE( t/c 2 góc đối đỉnh)
EI = ID (cmt)
=> Tam giác MIE = Tam giác DIN(c.g.c)
=> Góc IDN = góc IEM( góc tg ứng)
MÀ EM//BC( gt)=> Góc EMD = góc IDN ( vì là cặp góc sle trong)
=> góc EMD = góc IEM
=> Tam giác IME cân tại I ( DHNB)
=> IM =IE ( t/c)
MÀ IE =ID(cmt)
IM =IN
=> IM =IE=ID=IN => đpcm
