Question

Cho tam giác ABC và hai điểm M,N,P thỏa mãn | vec MA +2 vec MB = vec 0 và 4NB + NC =0| - vec PC +2 vec PA = vec 0 Chứng minh rằng M,N,P thẳng hàng.

Answer 1

Ta có: \(\overrightarrow{MA}+2\cdot\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{MA}=-2\cdot\overrightarrow{MB}\)

=>M nằm giữa A và B sao cho MA=2MB

Ta có: MA+MB=AB

=>AB=MB+2MB=3MB

=>\(BM=\frac13BA;AM=\frac23AB\)

Ta có: \(\overrightarrow{NB}\cdot4+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{NC}=-4\cdot\overrightarrow{NB}\)

=>N nằm giữa B và C sao cho NC=4NB

NC+NB=BC

=>BC=4NB+NB=5NB

=>\(\frac{CN}{CB}=\frac45\)

Ta có: \(-\overrightarrow{PC}+2\cdot\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{PC}=2\cdot\overrightarrow{PA}\)

=>A nằm giữa P và C sao cho PC=2PA

=>A là trung điểm của PC

=>PC=2AC

\(\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\frac23\cdot\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CN}\)

\(=2\cdot\overrightarrow{AC}+\frac45\cdot\overrightarrow{CB}=2\cdot\overrightarrow{AC}+\frac45\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=2\cdot\overrightarrow{AC}-\frac45\cdot\overrightarrow{AC}+\frac45\cdot\overrightarrow{AB}=\frac65\cdot\overrightarrow{AC}+\frac45\cdot\overrightarrow{AB}=\frac65\cdot\left(\overrightarrow{AC}+\frac23\cdot\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\frac65\cdot\overrightarrow{PM}\)

=>P,N,M thẳng hàng