Question

Cho tam giác ABC. Trên các đoạn AB, AC lấy M,N sao cho BM=2MA, AN=CN. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Đường thẳng AI cắt đoạn BC tại P. Đặt CI=x.IM, \(\overrightarrow{BC}=y.\overrightarrow{PB}\) . Tính T=xy

Answer 1

Áp dụng định lý Ceva:

\(\frac{BM}{MA}.\frac{AN}{NC}.\frac{CP}{PB}=1\Rightarrow2.1.\frac{CP}{PB}=1\Rightarrow BP=2CP\)

\(\Rightarrow BP=2\left(BC-BP\right)\Rightarrow BC=\frac{3}{2}BP\Rightarrow\overrightarrow{BC}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{PB}\)

Áp dụng Menelaus cho tam giác MBC:

\(\frac{IM}{IC}.\frac{CP}{PB}.\frac{BA}{AM}=1\Rightarrow\frac{IM}{IC}.\frac{1}{2}.3=1\Rightarrow CI=\frac{3}{2}IM\)

\(xy=-\frac{9}{4}\)