Question

Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF (h.17)

a) Chứng minh rằng A là trung điểm của EF

b) Các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trục của tam giác nào ?

Answer 1

a,

Theo bài ra ta có:

+)FE//BC

+)EC//BA hay ED//BA

+)AC//FB hay AC//FD

Khi đó:

+)\(\widehat{FBA}=\widehat{BAC}\)

+)\(\widehat{B\text{AF}}=\widehat{ABC}\)

Vì BF//AC

Xét \(\Delta FBA\) và \(\Delta CAB\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B\text{AF}}=\widehat{ABC}\\BAchung\\\widehat{FBA}=\widehat{BAC}\end{matrix}\right.\) (cmt)

=> \(\Delta FBA\) = \(\Delta CAB\) (g.c.g)

=> FB=AC ( hai cạnh tương ứng )

Ta lại có:

+) \(\widehat{FAB}=\widehat{CEA}\)

+) \(\widehat{BFA}=\widehat{CAE}\)

( vì BF//CA và BA//CE )

=> \(\widehat{FBA}=\widehat{ACE}\)

Xét \(\Delta FBA\) và \(\Delta ACE\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BFA}=\widehat{CAE}\\FB=AC\\\widehat{FBA}=\widehat{ACE}\end{matrix}\right.\) (cmt)

=> \(\Delta FBA=\Delta ACE\left(g.c.g\right)\)

=> FA=EA ( hai cạnh tương ứng )

Mà F;A;E thẳng hàng

=> A là trung điểm của EF

(đ.p.c.m)

b,

Các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác DFE

Answer 2

Xét ΔABC và ΔACE, ta có:

∠(ACB) = ∠(CAE) (so le trong, AE // BC)

AC cạnh chung

∠(CAB) = ∠(ACE) (so le trong, CE // AB)

Suy ra: ΔABC = ΔACE (g.c.g)

⇒ AE = BC (1)

Xét ΔABC và ΔABF, ta có:

∠(ABC) = ∠(BAF) (so le trong, AF // BC)

AB cạnh chung

∠(BAC) = ∠(ABF) (so le trong, BF // AC)

Suy ra: ΔABC = ΔBAF (g.c.g)

⇒ AF = BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF

Vậy A là trung điểm của EF.

b. Kẻ AH ⊥ BC.

Ta có: EF // BC (gt) ⇒ AH ⊥ EF

Lại có: AE = AF (chứng minh trên)

Vậy đường cao AH là đường trung trực của EF.

Vì B là trung điểm DF và DF // AC nên đường cao kẻ từ đỉnh B của ΔABC là đường trung trực DF.

Vì C là trung điểm DE và DE // AB nên đường cao kẻ từ đỉnh C của ΔABC là đường trung trực của DE.