Question

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.

a) Tứ giác BFCH là hình gì?

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H,M,F thẳng hàng

c) Chứng minh rằng Om=1/2AH

Answer 1

a) Ta có:

\(BD\perp AC\left(gt\right)\) và \(\widehat{ACF}=90^0\)(góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow BD//FC\Leftrightarrow BH//FC\left(1\right)\)

\(CE\perp AB\left(gt\right)\) và \(\widehat{ABF}=90^0\) (................)

\(\Rightarrow CE//BF\Leftrightarrow CH//FB\left(2\right)\)

Từ (1)và (2) \(\Rightarrow\) BFCH là hình bình hành.

b) Do BFCH là hình hành và MB=MC (gt)

\(\Rightarrow M\) là giao điểm của 2 đường chéo của hình bình hành

\(\Rightarrow H,M,F\) thẳng hàng (đpcm).

c) Xét \(\Delta AFH\) có \(OA=OF\left(=R\right)\) và \(HM=MF\) (c\m trên)

\(\Rightarrow OM\) là đường trung bình \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\left(đpcm\right)\)