kẻ \(AH\perp BC\left(H\in BC\right)\);\(AH\cap MN=\left\{E\right\}\)
vì MNPQ là HCN => MN//PQ hay MN//BC
mà \(AH\perp BC\)(cv)=>\(AH\perp MN\)
=>MEHQ,ENPH là các HCN
đặt ME=x; MQ=y(x,y>0)=>SMEHQ=xy
ta có:ME//BH(cmt)=>\(\frac{ME}{BH}=\frac{AM}{AB}\)(hệ quả đlý tales)
MQ//AH(cùng vuông góc vs BC)
=>\(\frac{MQ}{AH}=\frac{BM}{AB}\)(hệ quả đlý tales)
do đó \(\frac{x}{BH}+\frac{y}{AH}=\frac{AM+MB}{AB}=1\)
áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:
\(\frac{x}{BH}+\frac{y}{AH}\ge2\sqrt{\frac{xy}{BH.AH}}\leftrightarrow1\ge2\sqrt{\frac{xy}{BH.AH}}\)
\(\leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}BH.AH\)hay \(S_{MEHQ}\le\frac{1}{4}BH.AH\)(1)
tương tự :\(S_{ENPH}\le\frac{1}{4}CH.AH\)(2)
cả 2 vế BĐT đều dương, cộng vế vs vế ta có:
\(S_{MNPQ}\le\frac{1}{4}\left(BH+CH\right)AH=\frac{1}{4}.BC.AH\)
\(S_{MNPQ}\le\frac{1}{2}S_{ABc}=3\)
dấu = xảy ra khi AM=MB,AN=NChay M và N lần lượt là TĐ của AB , AC
