Question

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Chứng minh BF.BA+ CE.CA= BC^2?

Answer 1

-Xét △BCF và △BAD có:

\(\widehat{ABC}\) là góc chung

\(\widehat{BFC}=\widehat{BDA}=90^0\)

\(\Rightarrow\)△BCF∼△BAD (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{BF}{BD}\) (tỉ số đồng dạng)

\(\Rightarrow BF.BA=BC.BD\left(1\right)\)

-Xét △ACD và △BCE có:

\(\widehat{ACB}\) là góc chung

\(\widehat{ADC}=\widehat{BEC}=90^0\)

\(\Rightarrow\)△ACD∼△BCE (g-g)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CD}{CE}\) (tỉ số đồng dạng)

\(\Rightarrow CE.CA=CD.BC\left(2\right)\)

-Từ (1) và (2) suy ra:

\(BF.BA+CE.CA=BD.BC+CD.BC=BC\left(BD+CD\right)=BC.BC=BC^2\)