Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA', BB', CC', H là trực tâm.
a) Tính tổng \(\dfrac{HA'}{AA'}+\dfrac{HB'}{BB'}+\dfrac{HC'}{CC'}\)
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của \(\widehat{AIC}\) và \(\widehat{AIB}\). Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức \(\dfrac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất ?
Câu c) Các bạn tự vẽ hình nhé mình chỉ giải thôi:
Kẻ tia Cx vuông góc với CC'. Vẽ D là điểm đối xứng với A qua Cx. AD giao Cx tại I.
C/m C'AIC là hcn=> Góc BAD = 90 độ
=> CC'= AI
Có: D đối xứng với D qua Cx, I là giao điểm của AD và Cx
=> I là trung điểm của AD=> 2AI=AD
=> 2CC'=AD.
=> AB2+ AD2= BD2( Đlí PTG)
Ta có: Với 3 điểm B,C,D thì sẽ luôn có: (BD+CD)2>= BD2
Có: AB2+ AD2=BD2
=> (BD+CD)2>= AB2+ AD2
=> (BD+CD)2>= AB2+ (2CC')2
=> (BD+CD)2>= AB2+ 4CC'
=> (BD+CD)2- AB2>= 4CC'(1)
CMTT=> (AB+AC)2-BC2>= 4AA'(2)
và (AB+BC)2- AC2>= 4BB'(3)
Từ (1),(2) và (3) ta chứng minh đc:
(AB+BC+AC)2>= 4(AA'2+BB'2+CC'2)
=> GTNN bằng 4 <=> BC=AC; AC=AB; AB=BC<=> AB=BC=AC
=> GTNN là 4 khi tam giác ABC đều.
Hơi khó hiểu các bạn thông cảm!
- $AA' = 3$
- $CC' = 2\sqrt{2}$
- $\frac{BH}{HB'} = 5$
Ta cần tìm diện tích của tam giác $ABC$.
Trước tiên, ta có thể sử dụng công thức về diện tích tam giác:
$S = \frac{1}{2} \cdot base \cdot height$
Trong trường hợp này, ta có thể chọn $BC$ làm base và $AA'$ làm height.
Ta có:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA'$
Tuy nhiên, ta không biết giá trị của $BC$. Để tìm $BC$, ta có thể sử dụng thông tin về đường cao $CC'$.
Ta có:
$CC' = 2\sqrt{2}$
Vì $CC'$ là đường cao, nên nó vuông góc với $BC$. Do đó, ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tìm $BC$:
$BC^2 = CC'^2 + CB'^2$
Tuy nhiên, ta không biết giá trị của $CB'$. Để tìm $CB'$, ta có thể sử dụng thông tin về đường cao $AA'$ và tỷ lệ $\frac{BH}{HB'} = 5$.
Ta có:
$\frac{BH}{HB'} = 5 \Rightarrow \frac{AA'}{CC'} = 5 \Rightarrow \frac{3}{2\sqrt{2}} = 5$
Từ đây, ta có thể tìm $CB'$:
$CB' = \frac{3}{5} \cdot CC' = \frac{3}{5} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{6\sqrt{2}}{5}$
Bây giờ, ta có thể tìm $BC$:
$BC^2 = CC'^2 + CB'^2 = (2\sqrt{2})^2 + \left(\frac{6\sqrt{2}}{5}\right)^2 = 8 + \frac{72}{25} = \frac{200 + 72}{25} = \frac{272}{25}$
$BC = \sqrt{\frac{272}{25}} = \frac{4\sqrt{17}}{5}$
Cuối cùng, ta có thể tìm diện tích của tam giác $ABC$:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA' = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{17}}{5} \cdot 3 = \frac{6\sqrt{17}}{5}$
Vậy diện tích của tam giác $ABC$ là $\frac{6\sqrt{17}}{5}$.
