-Kẻ BH vuông góc với AM; CK vuông góc với AM(H,K thuộc AM). => BHCK là hình bình hành
=> BH= CK; M là trung điểm của BC nên cũng là trung điểm của HK.
-Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHB vuông tại H; tam giác BHM vuông tại H; tam giác AKC vuông tại K, ta có: AH^2+ BH^2=AB^2.
BH^2+HM^2=BM^2.
AK^2+KC^2=AC^2.
-Từ các điều ở trên ta có : BH^2+HM^2= (BC/2)^2.
=> 4.BH^2+4.HM^2 =BC^2.
=> 2.BH^2= (BC^2)/2 -2.HM^2.
=> 2.BH^2+4.HM^2= 2.HM^2+ (BC^2)/2.
=> 2.BH^2+2.AH^2 +4.HM^2+ 4.AH.HM= 2.AH^2+ 2.HM^2+ 4.AH.HM+ (BC/2)^2.
=> BH^2+CK^2+ AH^2+( AH^2+4.HM^2+ 4.AH.HM) =2.(AH^2+ HM^2+2.AH.HM) +(BC/2)^2.
=> BH^2+ AH^2+ CK^2+(AH^2+ HK^2+ 2.AH.HK) = 2.AM^2+ (BC/2)^2.
=> AB^2+ (CK^2+ AK^2)= 2.AM^2 + (BC/2)^2.
=> AB^2+AC^2= 2.AM^2 + (BC/2)^2 (đpcm).
Đề bài đúng phải là
Từ A dựng đường cao AH vuông góc với BC tại H
Ta có : \(AB^2=AH^2+BH^2=\left(AM^2-MH^2\right)+BH^2\)
\(=AM^2-\left(MH^2-BH^2\right)=AM^2-\left(MH-BH\right)\left(MH+BH\right)\)
\(=AM^2-\left(MH-BH\right).BM=AM^2-\frac{BC}{2}\left(MH-BH\right)\)
\(AC^2=AH^2+HC^2=\left(AM^2-HM^2\right)+HC^2\)
\(=AM^2-\left(HM^2-HC^2\right)=AM^2-\left(HM-HC\right)\left(HM+HC\right)\)
\(=AM^2+\left(HC-HM\right).\left(HM+HC\right)\)
\(=AM^2+\frac{BC}{2}.\left(HM+HC\right)\)
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=2AM^2-\frac{BC}{2}\left(MH-BH-MH-CH\right)\)
\(=2AM^2-\frac{BC}{2}.\left(-BC\right)=2AM^2+\frac{BC^2}{2}\)
