cho tam giác ABC có AB=AC và M là trumg điểm của BC
â)Chứng minh tam giác AMB= tam giác AMC
b)Qua A vẽ a vuông góc với AM.Chứng minh AM vuông góc với BC và a song song với BC
c)Qua C vẽ b song song với ÂM .Gọi N là giao điểm của 2 đường thẳng a và b.Chứng minh tam giác AMC = tam giác CNA
đ)Gọi I là trung điểm của AC.Chứng minh I là trung điểm của MN
a và b) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có:
$AM$: chung
$MB=MC (gt)$
$AB=AC(gt)$
Vậy \(\Delta AMB=\Delta AMC\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)
Mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\)
Nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\)\(\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
\(\Rightarrow AM\perp BC\)
Ta có $a//BC$ vì cùng vuông góc với $AM$
c) Xét tứ giác $ANCM$ có:
\(\widehat{A}=\widehat{M}=90^o\\ \widehat{C}=\widehat{AMC}=90^o\left(b//AM\right)\)
Nên $ANCM$ là hình chữ nhật \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=NC\\AN=MC\end{matrix}\right.\)
Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta CNA\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AM=NC\\\widehat{AMC}=\widehat{ANC}=90^o\\AN=MC\end{matrix}\right.\)
Nên \(\Delta AMC\)\(=\)\(\Delta CNA\)$(c.g.c)$
d) $I$ là trung điểm $AC$ \(\Rightarrow I\) là giao 2 đường chéo của hình chữ nhật
\(\Rightarrow I\) là trung điểm $MN$
b) Vì M là trung điểm của \(BC\left(gt\right)\)
=> \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC.\)
+ Xét \(\Delta ABC\) có:
\(AB=AC\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABC\) cân tại A.
Có \(AM\) là đường trung tuyến (cmt).
=> \(AM\) đồng thời là đường cao của \(\Delta ABC.\)
=> \(AM\perp BC.\)
Mà \(a\perp AM\left(gt\right)\)
=> \(a\) // \(BC\) (từ vuông góc đến song song).
c) Vì \(a\) // \(BC\left(cmt\right)\)
=> \(AN\) // \(MC.\)
=> \(\widehat{CAN}=\widehat{ACM}\) (vì 2 góc so le trong).
+ Vì \(b\) // \(AM\left(gt\right)\)
=> \(NC\) // \(AM.\)
=> \(\widehat{NCA}=\widehat{MAC}\) (vì 2 góc so le trong).
Xét 2 \(\Delta\) \(AMC\) và \(CNA\) có:
\(\widehat{ACM}=\widehat{CAN}\left(cmt\right)\)
Cạnh AC chung
\(\widehat{MAC}=\widehat{NCA}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta AMC=\Delta CNA\left(g-c-g\right).\)
Chúc bạn học tốt!
