Question

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AC > AB) Ba đường cao AD , BE ,CF cắt nhau ở H . CMR

a, tam giác AFH đồng dạng tam giác ADB

b, HB . HE = HC . HF

c, góc BEF = góc BCF

d, Lấy I thuộc BC sao cho IB = IC qua H kẻ đường thẳng d vuông góc với HI tại H cắt AB , AC lần lượt ở M , N . CM tam giác IMN cân

Answer 1

a) Xét \(\Delta\)AFH và \(\Delta\)ADB có:

\(\widehat{BAD}\) chung

\(\widehat{AFH} = \widehat{ADB}\) (=90^o)

=> \(\Delta\)AFH đồng dạng \(\Delta\)ADB (g-g)

b) Xét \(\Delta\)FHB và \(\Delta\)EHC có:

\(\widehat{HFB} = \widehat{HEC}\) (=90^o)

\(\widehat{FHB} = \widehat{EHC}\) ( đối đỉnh)

=> \(\Delta\)FHB đồng dạng \(\Delta\)EHC (g-g)

=> \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HF}{HE}\) => HB.HE = HF.HC =>đpcm

c) Từ câu b ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HF}{HE}\) => \(\dfrac{HF}{HB}=\dfrac{HE}{HC}\)

Xét \(\Delta\)FHE và \(\Delta\)BHC có:

\(\dfrac{HF}{HB}=\dfrac{HE}{HC}\) (chứng minh trên)

\(\widehat{FHE} = \widehat{CHB}\) ( đối đỉnh)

=>\(\Delta\)FHE đồng dạng \(\Delta\)BHC (g-g)

=> \(\widehat{BEF} = \widehat{BCF}\) => đpcm