Cho Tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) đường cao AH. M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AC,BC. I là giao điểm AH và MN.
a, Chứng minh MN là đường trung trực AH
b, Kéo dài PN một đoạn NQ=NP. Xác định dạng tứ giác ABPQ.
c, Xác định dạng tứ giác MHPN
d, K là trung điểm của MN. Chứng minh B,K,Q thẳng hàng
a) Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: MN//BC(cmt)
AH⊥BC(gt)
Do đó: MN⊥AH(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Ta có: MN//BC(cmt)
nên MI//BH
Xét ΔABH có
M là trung điểm của AB(gt)
MI//BH(cmt)
Do đó: I là trung điểm của AH(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: AH⊥MN(cmt)
mà AH\(\cap\)MN={I}
nên AH⊥MN tại I
mà I là trung điểm của AH(cmt)
nên MN là đường trung trực của AH(đpcm)
b) Xét ΔACB có
P là trung điểm của BC(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: PN là đường trung bình của ΔACB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒PN//AB và \(PN=\frac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Ta có: NQ=NP(gt)
mà P,N,Q thẳng hàng
nên N là trung điểm của PQ
⇒\(PN=\frac{PQ}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AB=PQ
Xét tứ giác ABPQ có AB//PQ(AB//PN, Q∈PN) và AB=PQ(cmt)
nên ABPQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c) Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
P là trung điểm của BC(gt)
Do đó: MP là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MP//AC và \(MP=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(3)
Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC)
mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(N là trung điểm của AC)
nên \(HN=\frac{AC}{2}\)(Định lí 1 áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(4)
Từ (3) và (4) suy ra MP=HN
Xét tứ giác PNMH có HP//MN(MN//BC, H∈BC, P∈BC)
nên PNMH là hình thang có hai đáy là HP và MN(Định nghĩa hình thang)
Hình thang PNMH(HP//MN) có PM=HN(cmt)
nên PNMH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
d) Xét ΔBPQ có
N là trung điểm của PQ(cmt)
NK//BP(NM//BC, P∈BC, K∈MN)
Do đó: K là trung điểm của BQ(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
hay B,K,Q thẳng hàng(đpcm)
ADE ∽
