a) Xét △AHB vuông tại H có:
\(AB^2=AH^2+HB^2\) (định lí Pytago)
\(\Rightarrow AH^2=AB^2-HB^2\\ \Rightarrow AH^2=10^2-6^2=64\\ \Rightarrow AH=8\left(cm\right)\)
b) Có △ABC cân tại A
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{B}=\widehat{C}\end{matrix}\right.\)
\(AH\perp BC\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\)
Xét △AHB và △AHC có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\\ AB=AC\\ \widehat{B}=\widehat{C}\)
\(\Rightarrow\text{△AHB = △AHC (cạnh huyền - góc nhọn)}\)
c) Có △AHB = △AHC
\(\Rightarrow HB=HC\) ( 2 cạnh tương ứng)
Xét △HBD và △HCE có:
\(BD=CE\\ \widehat{B}=\widehat{C}\\ BH=CH\)
\(\Rightarrow\text{△HBD = △HCE (c.g.c)}\)
\(\Rightarrow HD=HE\) (2 cạnh tương ứng)
Xét △HDE có: HD = HE
\(\Rightarrow\) △HDE cân tại H
d) Gọi giao điểm của AH và DE là I
Có AB = AC; BD = CE
\(\Rightarrow AD=AE\)
Có △AHB = △AHC
\(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\) (2 cạnh tương ứng)
Xét △AID và △AIE có:
\(AD=AE\\ \widehat{DAI}=\widehat{EAI}\\ AI:\text{ cạnh chung}\)
\(\Rightarrow\) △AID = △AIE (c.g.c)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ID=IE\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\left(1\right)\\\widehat{AID}=\widehat{AIE}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\end{matrix}\right.\)
Mà \(\widehat{AID}+\widehat{AIE}=180^o\left(\text{2 góc kề bù}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AID}=\widehat{AIE}=90^o\\ \Rightarrow AI\perp DE\text{ hay }AH\perp DE\left(2\right)\)
(1) (2) \(\Rightarrow\) AH là đường trung trực của DE
a) Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\left(gt\right)\) có:
\(AH^2+BH^2=AB^2\) (định lí Py - ta - go).
=> \(AH^2+6^2=10^2\)
=> \(AH^2=10^2-6^2\)
=> \(AH^2=100-36\)
=> \(AH^2=64\)
=> \(AH=8\left(cm\right)\) (vì \(AH>0\)).
b) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(AB=AC\) (tính chất tam giác cân).
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABH\) và \(ACH\) có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\left(gt\right)\)
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
Cạnh AH chung
=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
c) Theo câu b) ta có \(\Delta ABH=\Delta ACH.\)
=> \(BH=CH\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (2 góc tương ứng).
Hay \(\widehat{DBH}=\widehat{ECH}.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(BDH\) và \(CEH\) có:
\(BD=CE\left(gt\right)\)
\(\widehat{DBH}=\widehat{ECH}\left(cmt\right)\)
\(BH=CH\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta BDH=\Delta CEH\left(c-g-c\right)\)
=> \(DH=EH\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\Delta HDE\) cân tại \(H.\)
d) Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AD+BD=AB\\AE+CE=AC\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BD=CE\left(gt\right)\\AB=AC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(AD=AE.\)
=> A thuộc đường trung trực của \(DE\) (1).
+ Vì \(DH=EH\left(cmt\right)\)
=> H thuộc đường trung trực của \(DE\) (2).
Từ (1) và (2) => \(AH\) là đường trung trực của \(DE\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
a, Áp dụng định lý pi - ta go vào \(\Delta ABH\perp H\) ta được :
\(AH^2+BH^2=AB^2\)
Thay số : \(AH^2+6^2=10^2\)
=> \(AH=8\left(cm\right)\)
b, - Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\\AH\left(chung\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta ABH\) = \(\Delta ACH\) ( Ch - cgv )
c, - Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có AH là đường cao ( GT )
=> AH là trung tuyến của \(\Delta ABC\) .
=> HB = HC .
- Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta CEH\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}BD=CE\left(gt\right)\\\widehat{HBD}=\widehat{HCE}\left(gt\right)\\HB=HC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta BDH\) = \(\Delta CEH\) ( c - g - c )
=> DH = EH ( cạnh tương ứng )
- Xét \(\Delta DHE\) có DH = EH ( cmt )
=> \(\Delta DHE\) là tam giác cân tại H .
d, Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AD+BD\\AC=AE+EC\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\BD=CE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
=> AD = AE .
- Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AD=AE\left(cmt\right)\\HD=HE\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> AH là đường trung trực của DE ( định nghĩa đường trung trực ) .
