Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM=CN. Kẻ BH vuông góc với AM, kẻ CK vuông góc với AN
a.CMR:Tam giác AMN là tam giác cân
b.CM: AH=Ak
c.GỌi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OHK là tam giác gì?Vì sao?
d.Gọi I là trung điểm của BC.CMR Ba điểm A,I,O thẳng hàng
a)Ta có:
△ABC cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow180^0-\widehat{ABC}=180^0-\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét △\(ABM\) và △\(ACN\) có:
AB=AC(gt)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)
BM=CN (gt)
⇒△\(ABM\) = △\(ACN\) (cgc)
\(\Rightarrow AM=AN\)(2 cạnh tương ứng)
⇒△AMN cân tại A (đpcm)
b) Từ △AMN cân tại A (câu a)
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\) hay \(\widehat{HMB}=\widehat{KNC}\)
Xét △\(HMB\) vuông tại H và △\(KNC\)vuông tại K có:
MB=NC(gt)
\(\widehat{HMB}=\widehat{KNC}\)(cmt)
⇒ △\(HMB\) =△\(KNC\)(cạnh huyền- góc nhọn)
⇒HM=KN (2 cạnh tương ứng)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AM=AN\\HM=KN\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow AM-HM=AN-KN\Rightarrow AH=AK\left(đpcm\right)\)
c)Xét △AKO vuông tại K và △AHO vuông tại H có:
AK=AH (câu b)
AO chung
⇒△AKO =△AHO (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow OK=OH\)(2 cạnh tương ứng)
⇒△OHK cân tại O
d) Xét △ACI và △ABI có:
AC=AB (gt)
CI=BI (gt)
AI chung
⇒△ACI = △ABI (ccc)
\(\Rightarrow\widehat{AIC}=\widehat{AIB}=90^0\)⇒AI⊥BC (1)
Lại có:
△\(HMB\) =△\(KNC\)(câu b)
\(\Rightarrow\widehat{HBM}=\widehat{KCN}\)
Mà \(\widehat{HBM}=\widehat{OBC}\); \(\widehat{KCN}=\widehat{OCB}\)(đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)
⇒△OBC cân tại O
\(\Rightarrow OB=OC\)
Chứng minh tương tự, ta cũng được △OIC=△OIB(ccc)
\(\Rightarrow\widehat{OIC}=\widehat{OIB}=90^0\)⇒OI⊥BC(2)
Từ (1) và (2)
⇒A, I, O thẳng hàng (đpcm)
