Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của các tia BA và CA lấy các điểm D và E sao cho BD = CE. Vẽ DM và EN vuông góc với BC tại M và N. BE cắt CD tại I. C/minh:

a, BE = CD

b, MD = NE

c, Tam giác AMN cân

d, AI là phân giác cùa góc BAC và cũng là phân giác của góc MAN

Answer 1

a/ có: AB = AC
BD = CE
=> AB / BD = AC / CE
theo định lí đảo Thales ta suy ra: DE // BC (đpcm)
b/ có: MBD và NCE là hai tgiác vuông có cạnh huyền bằng nhau là:
BD = CE.
mặt khác do tính chất góc đối đỉnh ta có:
gócMBD = gócABC; gócNCE = gócACB
mà gócABC = gócACB (ABC là tgiác cân)
=> gócMBD = gócNCE
=> tgiácMBD = tgiácNCE
=> DM = EN (đpcm)
c/ Gọi K là trung điểm BC, do ABC là tgiác cân nên AK vuông BC (đường trung tuyến cũng là đường cao)
có BK = KC
mà MB = NC (tgiác MBD = tgiác NCE)
=> MB + BK = KC + CN
=> MK = KN
hiển nhiên AK vuông MN
tgiác AMN có AK vừa đường cao vừa trung tuyến nên là tgiác cân.

d) IB cắt AM tại P, IC cắt AN tại Q
ta dể cm ABM và ACN là hai tgiác bằng nhau (có ba cạnh tương ứng bằng nhau đôi một)
nên hai đường cao tương ứng bằng nhau, tức là:
BP = CQ
=> tgiác PAB = tgiác QAC (hai tgiác vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)
=> AP = AQ
xét hai tgiác PAI có QAI là hai tgiác vuông có cạnh huyền:AI chung và
AP = AQ
=> tgiác API = tgiác QAI
=> góc PAI = góc QAI
mà do ta có hai tgiác bằng nhau nên:
góc PAB = góc QAC
=>góc BAI = góc CAI
Vậy: AI là tia phân giác của góc BAC và góc MAN.

Answer 2

a) \(\Delta\) ABC cân tại A (gt) \(\Rightarrow\) AB = AC ; \(\widehat{B}\) = \(\widehat{C}\)

Ta có: AB + BD = AD

AC + CE = AE

mà AB = AC, BD = CE (gt) \(\Rightarrow\) AD = AE

Xét \(\Delta\) DAC và \(\Delta\) EAB, có:

AC = AB (cmt)

\(\widehat{A}\) chung

AD = AE (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) DAC = \(\Delta\) EAB (c.g.c)

\(\Rightarrow\) BE = CD (2 cạnh tương ứng)

b) Nối DE

Xét \(\Delta\) ABC: \(\widehat{A}\) + \(\widehat{B}\) + \(\widehat{C}\) = 180^o - \(\widehat{A}\) (tổng 3 góc trong \(\Delta\))

\(\Rightarrow\) \(\widehat{B}\) + \(\widehat{C}\) = 180^o - \(\widehat{A}\)

\(\Rightarrow\) 2\(\widehat{B}\) = 180^o - \(\widehat{A}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{B}\) = \(\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\) (1)

Vì AD = AE (cmt) nên \(\Delta\) ADE cân tại A

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ADE}\) = \(\widehat{AED}\)

Xét \(\Delta\) ADE: \(\widehat{ADE}\) + \(\widehat{AED}\) + \(\widehat{DAE}\) = 180^o (tổng 3 góc trong \(\Delta\))

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ADE}\) + \(\widehat{AED}\) = 180 - \(\widehat{DAE}\)

\(\Rightarrow\) 2\(\widehat{ADE}\) = \(\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ADE}\)

mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị, nên BC//DE

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MBD}\) = \(\widehat{ADE}\) (2 góc so le trong)

và \(\widehat{NCE}\) = \(\widehat{AED}\) (2 góc so le trong)

mà \(\widehat{ADE}\) = \(\widehat{AED}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MBD}\) = \(\widehat{NCE}\)

Xét \(\Delta\) MBD vuông tại M và \(\Delta\) NCE vuông tại N, có:

BD = CE (gt)

\(\widehat{MBD}\) = \(\widehat{NCE}\) (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) MBD = \(\Delta\) NCE (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow\) DM = EN (2 cạnh tương ứng)

Ta có: \(\widehat{MBD}\) + \(\widehat{ABM}\) = 180^o (2 góc kề bù)

\(\widehat{NCE}\) + \(\widehat{ACN}\) = 180^o (2 góc kề bù)

mà \(\widehat{MBD}\) = \(\widehat{NCE}\) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{ACN}\)

Vì \(\Delta\) MBD = \(\Delta\) NCE (cmt) nên MB = CN (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta\) AMB và \(\Delta\) ANC, có:

MB = CN (cmt)

\(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{ACN}\) (cmt)

AB = AC (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) AMB = \(\Delta\) ANC (c.g.c)

\(\Rightarrow\) AM = AN (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) AMN cân tại A

(Sorry bạn, câu d) mình chưa giải được)

~ Yorin ~