Question

Cho tam giác ABC cân tại A . Qua điểm M bất kì trên cạnh BC , kẻ ME vuông góc với AB , kẻ MF vuông góc với AC . CMR ME + MF ko thay đổi khi điểm M thay đổi tren cạnh BC

Answer 1

Kẻ CN _I_ AB

mà ME _I_ AB (gt)

=> CN // ME

Kẻ MP _I_ CN

mà EN _I_ CN

=> MP // EN

Xét tam giác MEN và tam giác NPM có:

EMN = PNM (2 góc so le trong, ME // NP)

MN chung

MNE = NMP (2 góc so le trong, MP // EN)

=> Tam giác MEN = Tam giác NPM (g.c.g)

ABC = PMC (2 góc đồng vị, MP // EN)

ABC = FCM (tam giác ABC cân tại A)

=> PMC = FCM

Xét tam giác PMC vuông tại P và tam giác FCM vuông tại F có:

MC chung

PMC = FCM (chứng minh trên)

=> Tam giác PMC = Tam giác FCM (cạnh huyền - góc nhọn)

=> PC = FM (2 cạnh tương ứng)

mà ME = NP (Tam giác MEN = Tam giác NPM)

=> ME + FM = NP + PC = NC

mà NC không thay đổi

=> ME + FM không thay đổi (đpcm)