Question

Cho tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm BC. MH \(\perp\) AB ( H \(\in\) BC ). MK \(\perp\) AC ( K \(\in\) AC ). Từ B kẻ đường thẳng song song với MH, từ C kẻ đường thẳng song song với MK; hai đường này cắt nhau tại I. Chứng minh A, M, I thẳng hàng

Answer 1

Giải:

Giải:
Do \(\Delta ABC\) cân tại A có AM là trung tuyến

\(\Rightarrow\)AM cũng là đường cao

\(\Rightarrow AM\perp BC\) tại M (1)

Xét \(\Delta HMB,\Delta KMC\) có:

BM = CM ( gt )

\(\widehat{HBC}=\widehat{KBC}\) ( do t/g ABC cân tại A )
\(\widehat{BHM}=\widehat{CKM}=90^o\)

\(\Rightarrow\Delta HMB=\Delta KMC\) ( c.huyền - g.nhọn )

\(\Rightarrow\widehat{HMB}=\widehat{KMC}\) ( góc t/ứng )

Có: HM // BI \(\Rightarrow\widehat{HMB}=\widehat{MBI}\) ( so le trong )

MK // CI \(\Rightarrow\widehat{KMC}=\widehat{MCI}\) ( so le trong )

\(\Rightarrow\widehat{MBI}=\widehat{MCI}\) hay \(\widehat{CBI}=\widehat{BCI}\)

\(\Rightarrow\Delta BIC\) cân tại I

Mà t/g BIC cân tại I có IM là trung tuyến

\(\Rightarrow\)IM cũng là đường cao

\(\Rightarrow IM\perp BC\) tại M (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow\)A, M, I thẳng hàng ( đpcm )

Vậy...