Question

Cho tam giác ABC cân tại A \(\left\{{}\begin{matrix}M\in AB\\N\in AC\end{matrix}\right.\) sao cho AN = CN . O là tđ of MN

C/m :

a| Khi M,N di chuyển thì O luôn đi qua đường thẳng cố định

b| Tìm GTNN of MN

c| Tìm GTLN of S_AMN

Answer 1

H_1: How to cheat !( d là đường thẳng cần tìm )

H_2:How to prove:

Qua O kẻ đường thẳng // với BC cắt AB,AC ở P,Q. Từ M và N kẻ các đường vuông góc xuống đường thẳng vừa vẽ ( MH ,NK)

Việc còn lại là chứng minh P và Q là trung điểm AB,AC.

b) ...

c) Có nhiều cách:

\(S_{AMN}=\dfrac{1}{2}AM.AN.\sin A\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}\left(AM+AN\right)^2.\sin A\)(AM-GM)

\(S_{AMN}\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}AB^2.\sin A\)( AM+AN=AN+CN=AC=AB)

\(S_{AMN}\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A=\dfrac{S_{ABC}}{4}\)

Dấu = xảy ra khi AM=AN hay M và N là trung điểm AB,AC