Violympic toán 9
Các câu hỏi tương tự
đường tròn tâm (I) nội tiếp tam giác ABC , (I) cắt AB tại F cắt Bc tại D và cắt AC tại E . Ad cắt (I) tại M . AI cắt EF tại K . chứng minh \(\dfrac{IA^2}{AB\cdot AC}+\dfrac{IB^2}{BC\cdot BA}+\dfrac{IC^2}{CA\cdot CB}=1\)
Cho tam giác ABC vuuong cân tại đỉnh A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Qua D dựng đường thẳng vuông góc với AB tại M. Lấy điểm N đối xứng với D qua M. Từ giao điểm P của AB và CN, hạ đoạn thẳng PQ vuông góc với BC tại Q. Các tia CP và QM cắt nhau tại E.a) Chứng minh tứ giác MPDQ nội tiếp một đường tròn.b) Chứng minh BE vuông góc với CN.c) Chứng minh tia EC là tia phân giác của góc AEQ
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC vuuong cân tại đỉnh A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Qua D dựng đường thẳng vuông góc với AB tại M. Lấy điểm N đối xứng với D qua M. Từ giao điểm P của AB và CN, hạ đoạn thẳng PQ vuông góc với BC tại Q. Các tia CP và QM cắt nhau tại E.
a) Chứng minh tứ giác MPDQ nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh BE vuông góc với CN.
c) Chứng minh tia EC là tia phân giác của góc AEQ
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc AO ( C # A và B). Đường thảng qua C vuông góc AB cắt (O) tại D. E là trung điểm của CD. Tia AE cắt (O) tại M.
a) Chứng minh BCEM nội tiếp
b) Cm góc AMD + DAM DEM
c) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng AB tại F. Cm FD2 FA . FB và dfrac{CA}{CD}dfrac{FD}{FB}
d) Gọ (I;r) là đg tròn ngoại tiếp tam giác DEM. Giả sử r dfrac{CD}{2}. Chứng minh CI // AD
Đọc tiếp
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc AO ( C # A và B). Đường thảng qua C vuông góc AB cắt (O) tại D. E là trung điểm của CD. Tia AE cắt (O) tại M.
a) Chứng minh BCEM nội tiếp
b) Cm góc AMD + DAM = DEM
c) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng AB tại F. Cm FD2 = FA . FB và \(\dfrac{CA}{CD}=\dfrac{FD}{FB}\)
d) Gọ (I;r) là đg tròn ngoại tiếp tam giác DEM. Giả sử r = \(\dfrac{CD}{2}\). Chứng minh CI // AD
Cho đường tròn (O) và dây AB. VẼ đường kính CD vuông góc với AB tại K (D thuộc cung nhỏ AB). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MC nhỏ hơn cung MB. Dây DM cắt AB tại F. Tia CM cắt đường thẳng AB tại E.
1) Chứng minh tứ giác CKFM là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh KE.KF KC.KD
3) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AE tại I. Chứng minh IE IF
4) Chứng minh dfrac{FB}{EB}dfrac{KF}{KA}
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O) và dây AB. VẼ đường kính CD vuông góc với AB tại K (D thuộc cung nhỏ AB). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MC nhỏ hơn cung MB. Dây DM cắt AB tại F. Tia CM cắt đường thẳng AB tại E.
1) Chứng minh tứ giác CKFM là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh KE.KF = KC.KD
3) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AE tại I. Chứng minh IE = IF
4) Chứng minh \(\dfrac{FB}{EB}=\dfrac{KF}{KA}\)
Cho đường tròn (O) có đường kính BC cố định và điểm A thuộc O. Trên tia đối của tia AB lấy AD = AC, trên tia đối của AC lấy AE = AB.
a, Đường thẳng qua đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại M. C/tỏ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
b, Chứng minh: \(AO\perp DE\) .
1, Cho left(O;dfrac{AB}{2}right), C là một điểm nằm trên nửa đường tròn. Qua D trên đoạn thẳng OA kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại F. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt DF tại I. Gọi E là là giao điểm của AC và DF.
a. So sánh widehat{IEC} với widehat{ICE} và widehat{ABC}
b. Chứng minh Delta EIC là tam giác cân
c. Chứng minh IEICtext{IF}IEICtext{IF}
2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I.
a. dfrac{IB}{IC}dfrac{AB^2}{AC^2}
b. Tính IA và I...
Đọc tiếp
1, Cho \(\left(O;\dfrac{AB}{2}\right)\), C là một điểm nằm trên nửa đường tròn. Qua D trên đoạn thẳng OA kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại F. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt DF tại I. Gọi E là là giao điểm của AC và DF.
a. So sánh \(\widehat{IEC}\) với \(\widehat{ICE}\) và \(\widehat{ABC}\)
b. Chứng minh \(\Delta EIC\) là tam giác cân
c. Chứng minh \(IE=IC=\text{IF}\)\(IE=IC=\text{IF}\)
2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I.
a. \(\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}\)
b. Tính IA và IC biết AB=20cm ; AC=28cm ; BC=24cm.
3.Cho đường tròn tâm O, dây cung MN, tiếp tuyến Mx. Trên tia Mx lấy điểm T sao cho MT=MN. Đường thẳng TN cắt đường tròn tại S. Chứng minh:
a. \(\Delta SMT\) cân
b. \(TM^2=TF\cdot TN\)
4. Cho tam giác SBC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn theo thứ tự tại M,N,K. Kẻ đường kính AI. Chứng minh:
a. C là điểm chính giữa của \(\widehat{MCN}\)
b. N đối xứng với H qua AC ; M đối xứng với H qua BC ; K đối xứng với H qua AB.
c. Chứng minh: tứ giác BCIM là hình thang cân
d. Gọi G là trung điểm của BC. Chứng minh: \(AH=2OG\)
e. Chứng minh: \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=4\)
5. Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O;R). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC. Lấy điểm I trên dây AM sao cho MI=MB.
a. Chứng minh tam giác MBI là tam giác đều.
b. Chứng minh MA=MB+MC.
c. Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh: \(\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{MB}+\dfrac{1}{MC}\)
d. Tính tổng \(MA^2+MB^2+MC^2\) theo R
6. Trong tuần đầu, 2 tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ 2, tổ A vượt mức 25 %, tổ B giảm mức 18 % nên trong tuần này cả 2 tổ sản xuất được 1617 bộ. Hỏi trong tuần đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ quần áo?
Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R)
a) chứng minh : \(2R=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{BC}{sinA}\)
b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tia AO cắt (O) tại D . Gọi I là trung điểm của BC. chứng minh cho H,I,D thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là tia phân giác của góc B ( D thuộc AC).Chứng minh rằng :\(\dfrac{B}{2}\) =\(\dfrac{AC}{BC+AB}\)
Cho nửa đường tròn left(O;dfrac{AB}{2}right) . Vẽ hai tiếp tuyến Ax , By của nửa đường tròn , gọi C thuộc nửa đường tròn sao cho ACBC . Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt Ax , By tại D , E
a) Chứng minh tam giác ABC vuông và AD + BE ED
b) Chứng minh 4 điểm A , D , C , O cùng thuộc một đường tròn và widehat{ADO}widehat{CAB}
c) DB cắt nửa đường tròn tại F và cắt AE tại I . Tia CI cắt AB tại K . Chứng minh ICIK
d) Tia AF cắt BE tại N . M trung điểm BN . Chứng minh A , C , M thẳng hàng
Đọc tiếp
Cho nửa đường tròn \(\left(O;\dfrac{AB}{2}\right)\) . Vẽ hai tiếp tuyến Ax , By của nửa đường tròn , gọi C thuộc nửa đường tròn sao cho AC>BC . Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt Ax , By tại D , E
a) Chứng minh tam giác ABC vuông và AD + BE = ED
b) Chứng minh 4 điểm A , D , C , O cùng thuộc một đường tròn và \(\widehat{ADO}=\widehat{CAB}\)
c) DB cắt nửa đường tròn tại F và cắt AE tại I . Tia CI cắt AB tại K . Chứng minh IC=IK
d) Tia AF cắt BE tại N . M trung điểm BN . Chứng minh A , C , M thẳng hàng