Question

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AC. Gọi E là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AE vuông góc với BD.

Answer 1

Lời giải:

Gọi $M$ là giao điểm của $BD, AE$. $K$ là giao của $AH$ và $BD$

Xét tam giác $AHD$ và $HCD$ có:

$\widehat{AHD}=\widehat{HCD}(=90^0-\widehat{DHC})$

$\widehat{ADH}=\widehat{HDC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle AHD\sim \triangle HCD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AH}{CH}=\frac{HD}{CD}$

$\Leftrightarrow \frac{AH}{0,5BC}=\frac{2HE}{CD}$

$\Leftrightarrow \frac{AH}{BC}=\frac{HE}{CD}$

Do đó dễ chỉ ra $\triangle AHE\sim \triangle BCD$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{A_1}$

Mà $\widehat{K_1}=\widehat{K_2}$ (đối đỉnh)

Do đó $\widehat{AMK}=\widehat{BHK}=90^0$

$\Rightarrow AE\perp BD$ (đpcm)

 

Answer 2

Hình vẽ: