Cho tam giác ABC cân tại A có Â < \(90^o\).Qua B kẻ BH vuông góc với AC (HϵAC). Qua C kẻ CE vuông góc với AB(EϵAB).Gọi M là giao điểm của BH và CE.
a) Chứng minh rằng:BE=CH
b) Chứng minh rằng:tam giác BEM = tam giác CHM
c) Chứng minh rằng:EH song song BC
d) Gọi giao điểm của AM và BC là D . CHứng minh rằng:AD vuông góc BC
a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACE vuông tại C có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAH}\) chung
Do đó: ΔABH=ΔACE(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒AH=AE(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AE+BE=AB(E nằm giữa A và B)
AH+CH=AC(H nằm giữa A và C)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
và AE=AH(cmt)
nên BE=CH
b) Ta có: ΔABH=ΔACH(cmt)
⇒\(\widehat{ABH}=\widehat{ACE}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{EBM}=\widehat{HCM}\)
Xét ΔEMB vuông tại E và ΔHMC vuông tại H có
EB=HC(cmt)
\(\widehat{EBM}=\widehat{HCM}\)(cmt)
Do đó: ΔEMB=ΔHMC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
c) Xét ΔAEH có AE=AH(cmt)
nên ΔAEH cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{AEH}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔAEH cân tại A)(1)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AEH}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{AEH}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên EH//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
d) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: ΔEMB=ΔHMC(cmt)
⇒MB=MC(hai cạnh tương ứng)
hay M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Từ (3) và (4) suy ra AM là đường trung trực của BC
⇔AM⊥BC
mà D∈AM
nên AD⊥BC(đpcm)
