Question

Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng

Answer 1

Lời giải:

Nối \(M-N\) cắt $BC$ tại $K'$ (1)

Trên tia đối của tia $BC$ lấy $T$ sao cho $BT=CN$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC$

Do đó: \(\frac{BT}{AB}=\frac{CN}{AC}\Rightarrow \) \(BC\parallel TN\) (theo định lý Thales đảo)

\(\Rightarrow BK'\parallel TN\)

Mặt khác: \(BM=CN; CN=BT\Rightarrow BM=BT\)

Xét tam giác $MTN$ có \(B\in MT, K' \in MN\) và \(BK'\parallel TN\) nên áp dụng định lý Thales có:

\(\frac{MK'}{K'N}=\frac{BM}{BT}=1\)

\(\Rightarrow MK'=K'N\Rightarrow K'\) là trung điểm của $MN$

\(\Rightarrow K'\equiv K\) (2)

Từ (1); (2) suy ra \(B,K,C\) thẳng hàng.

Answer 2

Bạn cũng có thể làm cách sau, phù hợp với lớp 7:

Kẻ MH // AN (H ∈ BC)

=> MHB = ACB (đồng vị)

Mà ABC = ACB (ΔABC cân)

=> MBH = MHB => ΔMBH cân tại M

=> MB = MH

Mà MB = CN (gt) => MH = CN

Xét ΔBMH và ΔKNC có:

KM = KN (K: trđ MN)

HMK = CNK (MH // CN)

MH = CN (cmt)

=> ΔKMH = ΔKNC (c.g.c)

=> MKC + CKN = 180^o (kề bù)

=> MKC + MKH = 180^o

=> HKC = 180^o

=> H, K, C thẳng hàng

Vậy khi đó B, K, C cũng thẳng hàng (đpcm)