Violympic toán 8
Các câu hỏi tương tự
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh và x, y, z là độ dài 3 đường phân giác trong tam giác của các góc đối diện với cạnh đó. Chứng minh: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c thỏa mãn: \(\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ac}{a+b}=\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{bc}{a+b}\). Chứng minh: Tam giác ABC cân
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c thỏa mãn: \(\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{ac}{a+b}=\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{bc}{a+b}\). Chứng minh tam giác ABC cân
ta có Adfrac{1}{1+dfrac{bc}{a}}+dfrac{1}{1+dfrac{ca}{b}}+dfrac{1}{1+dfrac{ab}{c}}
đặt sqrt{dfrac{bc}{a}};sqrt{dfrac{ca}{b}};sqrt{dfrac{ab}{c}}left(x;y;zright) xy+yz+zx1
ta có Adfrac{1}{1+x^2}+dfrac{1}{1+y^2}+dfrac{1}{1+z^2}
ta cần chứng minh dfrac{1}{1+x^2}+dfrac{1}{1+y^2}+dfrac{1}{1+z^2}gedfrac{9}{4}Leftrightarrow1-dfrac{1}{x^2}+1-dfrac{1}{1+y^2}+1-dfrac{1}{z^2+1}ledfrac{3}{4}
Leftrightarrowdfrac{x^2}{x^2+1}+dfrac{y^2}{y^2+1}+dfrac{z^2}{z^2+1}gedfrac{3}{4}
mà dfrac{x^2}{x^2+1}+dfrac{y^2}{...
Đọc tiếp
ta có \(A=\dfrac{1}{1+\dfrac{bc}{a}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{ca}{b}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{ab}{c}}\)
đặt \(\sqrt{\dfrac{bc}{a}};\sqrt{\dfrac{ca}{b}};\sqrt{\dfrac{ab}{c}}=\left(x;y;z\right)\) =>xy+yz+zx=1
ta có A=\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\)
ta cần chứng minh \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{x^2}+1-\dfrac{1}{1+y^2}+1-\dfrac{1}{z^2+1}\le\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{x^2+1}+\dfrac{y^2}{y^2+1}+\dfrac{z^2}{z^2+1}\ge\dfrac{3}{4}\)
mà \(\dfrac{x^2}{x^2+1}+\dfrac{y^2}{y^2+1}+\dfrac{z^2}{z^2+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3}=\dfrac{x^2+y^2+z^2+2}{x^2+y^2+z^2+3}=1-\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2+3}\ge\dfrac{3}{4}\)
=> BĐT cầnd chứng minh luôn đúng
Cho a, b, x, y, z là các số khác 0 thỏa mãn: \(\dfrac{x^2-yz}{a}=\dfrac{y^2-zx}{b}=\dfrac{z^2-xy}{c}\ne0\). CMR: \(\dfrac{a^2-bc}{x}=\dfrac{b^2-ca}{y}=\dfrac{c^2-ab}{z}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b và đường phân giác của góc A là AD=d. CM: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{\sqrt{2}}{d}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b và đường phân giác của góc A là AD=d. CM: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{\sqrt{2}}{d}\)
a ,Tính Adfrac{1}{left(x-yright)left(y-zright)}+dfrac{1}{left(y-zright)left(z-xright)}+dfrac{1}{left(z-xright)left(x-yright)}
b, Cho a,b,c ne 0 thỏa mãn a+b+c0
CMR: Mdfrac{1}{ab}+dfrac{1}{bc}+dfrac{1}{ca}0
c, Cho biểu thức :
Bdfrac{y}{left(x-yright)left(y-zright)}+dfrac{z}{left(y-zright)left(z-xright)}+dfrac{x}{left(z-xright)left(x-yright)}
CMR : Giá trị bth B không phụ thuộc vào giá trị của biến
Đọc tiếp
a ,Tính \(A=\dfrac{1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\dfrac{1}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\dfrac{1}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)}\)
b, Cho a,b,c \(\ne\) 0 thỏa mãn a+b+c=0
CMR: \(M=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=0\)
c, Cho biểu thức :
\(B=\dfrac{y}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\dfrac{z}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\dfrac{x}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)}\)
CMR : Giá trị bth B không phụ thuộc vào giá trị của biến
14 tháng 9 2017 lúc 16:17
1. Cho a;b;c 0. Tìm giá trị nhỏ nhất:
Aleft(a+b+cright)left(dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c}right)
2. a) Cho x 0, y 0. CMR: dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}gedfrac{1}{x+y}
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
dfrac{1}{a+b-c}+dfrac{1}{b+c-a}+dfrac{1}{c+a-b}gedfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c}
Đọc tiếp
1. Cho a;b;c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất:
\(A=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
2. a) Cho x > 0, y > 0. CMR: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{1}{x+y}\)
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)