Đề chính xác là \(\left|\overrightarrow{EB}-3\overrightarrow{EC}\right|\) đạt min đúng ko?
\(\overrightarrow{AB}=\left(2;-4\right)=2\left(1;-2\right)\) nên đường thẳng AB nhận \(\left(2;1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AB:
\(2\left(x+2\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x+y+3=0\)
Do E thuộc AB, đặt \(E\left(a;b\right)\Rightarrow2a+b+3=0\Rightarrow b=-2a-3\)
\(\Rightarrow E\left(a;-2a-3\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{EB}=\left(-a;2a\right)\\\overrightarrow{EC}=\left(1-a;2a+4\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{EB}-3\overrightarrow{EC}=\left(2a-3;-4a-12\right)\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{EB}-3\overrightarrow{EC}\right|=\sqrt{\left(2a-3\right)^2+\left(-4a-12\right)^2}=\sqrt{20a^2+84a+153}\)
\(=\sqrt{20\left(a+\dfrac{21}{10}\right)^2+\dfrac{324}{5}}\ge\sqrt{\dfrac{324}{5}}\)
Dấu = xảy ra khi \(a+\dfrac{21}{10}=0\Rightarrow a=-\dfrac{21}{10}\)
\(\Rightarrow E\left(-\dfrac{21}{10};\dfrac{6}{5}\right)\)
