Question

cho tam gác ABC trực tâm H nội tiếp (O) AH cắt (O) tại E

a,E đối xứng với H qua BC

b, gọi là điểm đối xứng với H qua BC chứng minh D thuộc (O)

Answer 1

Lời giải:

a) Gọi $M$ là giao điểm của $AH$ và $BC$

Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $BH\perp AC; AM\perp BC$. Từ đây ta có:

$\widehat{HBM}=90^0-\widehat{C}=\widehat{MAC}=\widehat{EAC}=\widehat{EBC}$ (góc nt cùng chắn cung $EC$)

$=\widehat{EBM}$

Do đó $\triangle HBM\sim \triangle EBM$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{HM}{EM}=\frac{BM}{BM}=1\Rightarrow HM=EM$

Vậy $BC\perp HE$ và đi qua trung điểm $M$ của $HE$ nên $H,E$ đối xứng nhau qua $BC$

b)

Vì $H,D$ đối xứng nhau qua $BC$ nên $BC$ là đường trung trực của $HD$

Từ đây dễ dàng chỉ ra $\triangle DBM=\triangle HBM$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BDA}=\widehat{BDM}=\widehat{BHM}=\widehat{BCA}$

$\Rightarrow D\in (O)$ (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ: