\(S=1+3^1+3^2+...+3^{30}\\ =\dfrac{3-1}{2}\cdot\left(1+3^1+3^2+...+3^{30}\right)\\ =\dfrac{\left(3-1\right)\cdot\left(1+3^1+3^2+...+3^{30}\right)}{2}\\ =\dfrac{3-1+3^2-3+...+3^{31}-3^{30}}{2}\\ =\dfrac{3^{31}-3}{2}\)
\(3^{31}=3^{28}\cdot3^3=\left(3^4\right)^7\cdot3^3=81^7\cdot27\)
Ta có: \(81^7\) sẽ có chữ số tận cùng là \(1\)
\(\Rightarrow3^{31}\) có chữ số tận cùng là \(1\cdot7=7\)
\(\Rightarrow3^{31}-3\) có chữ số tận cùng là \(7-3=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{3^{31}-3}{2}\)có chữ số tận cùng là \(\dfrac{4}{2}=2\)
Vậy \(S\) có chữ số tận cùng là \(2\)
Vì S có 31 số hạng nên ta chia S thành 7 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng, thừa 3 số hạng như sau:
S = 1 + 3 + 32 + (33 + 34 + 35 + 36) + (37 + 38 + 39 + 310) + ... + (327 + 328 + 329 + 330)
= 13 + 33(1 + 3 + 32 + 33) + 37(1 + 3 + 32 + 33) + ... + 327(1 + 3 + 32 + 33)
= 13 + 33 . 40 + 37 . 40 + ... + 327 . 40
= 13 + (33 + 37 + ... + 327) . 40
= 13 + ...0
= ...3
Vậy S có tận cùng là 3.
