Question

cho pt \(x^2+2\left(m+1\right)x+m-4=0\)

a) cm pt luôn có 2 nghiêm phân biệt vơi moi m

b) tìm m để pt có 2 nghiệm x1, x2 tm: \(x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=0\)

Answer 1

a)Xét phương trình có: \(\Delta'=b'^2-ac=\left(m+1\right)^2-\left(m-4\right)=m^2+2m+1-m+4=m^2+m+5=m^2+2.m.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+5-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\)vì \(\left(m+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi m nên \(\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}\) >0 => \(\Delta'\) >0
do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) theo định lí Vi-ét có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-2\left(m+1\right)=-2m-2\\x_1.x_2=\frac{c}{a}=m-4\end{matrix}\right.\)
x₁²+x₂² +3x₁.x₂=0 <=>(x₁²+2x₁.x₂+x₂²)-x₁.x₂=0 <=>(x₁+x₂)²-x₁.x₂=0 <=>(-2m-2)²-(m-4)=0<=>4m²+8m+4-m+4=0 <=>4m²+7m+8=0 (1)
xét phương trình (1) có \(\Delta=b^2-4ac=7^2-4.4.8=49-128=-79\)
vì \(\Delta\) =-79<0 => phương trình vô nghiệm
Vậy không tìm được gtrij của m để pt có 2 nghiệm x₁²+x₂²+3x₁x₂=0