Question

Cho phương trình: \(x^2+\left(m+2\right)x-m-4=0\\\) (m là tham số)

1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1;x2 với mọi giá trị của m.

2) Tìm tất cả các giá trị của m để x1<0<x2 và tìm hệ thức liên hệ giữa x1;x2 không phụ thuộc vào m

Answer 1

a, Ta có : \(x^2+\left(m+2\right)x-m-4=0\)

=> \(\Delta=b^2-4ac=\left(m+2\right)^2-4\left(-m-4\right)\)

=> \(\Delta=m^2+4m+4+4m+16=m^2+8m+20\)

=> \(\Delta=m^2+2.m.4+16+4=\left(m+4\right)^2+4\ge4>0\forall m\)

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

b,- Để \(x_1< 0< x_2\)

<=> Phương trình có hai nghiệm trái dấu .

<=> ac < 0

<=> - m - 4 < 0

<=> m > - 4 .

Vậy .....

- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\left(m+2\right)\\x_1x_2=-m-4\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m-2\\x_1x_2=-m-4\end{matrix}\right.\)

=> \(x_1+x_2-x_1x_2=-m-2+m+4=2\)

Vậy ....