Thay m = 2 vào phương trình \(x^2+\left(2m+1\right)x-n+3=0\), ta được phương trình mới là:\(x^2+5x-n+3=0\) (*)
Xét phương trình (*) có: \(\Delta=\left(5\right)^2-4.1.\left(-n+3\right)=4n+13\)
Để phương trình (*) có ngiệm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow n\ge\dfrac{-13}{4}\)
Vì phương trình (*) có nghiệm nên theo hệ thức Vi-et, ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1.x_2=-n+3\end{matrix}\right.\)
Để phương trình (*) có nghiệm dương thì\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2\ge0\\x_1.x_2\ge0\end{matrix}\right.\)hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2\le0\\x_1.x_2\le0\end{matrix}\right.\)
Vì \(x_1+x_2=-5< 0\) \(\Rightarrow x_1.x_2\le0\Leftrightarrow-n+3\le0\Leftrightarrow n\ge3\)
Ta có n nhỏ nhất là bằng 3
\(\Rightarrow\) n = 3 thì phương trình có nghiệm dương.
P/s: Mình mới học đến phần này nên nếu có sai thì mong bạn thông cảm :D
