Question

Cho phương trình : x²+2(m-1)x-2m-3=0 ( m là tham số )

a. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm x₁;x₂ với mọi m thuộc R

b. Tìm giá trị của m sao cho (4x₁+5)(4x₂+5)+19=0

Answer 1

a. Δ' = b'² - ac = (m-1)² - (-2m-3) = m² - 2m + 1 + 2m + 3

= m² + 4 ≥ 4 > 0 ∀ m ∈ R

Vậy pt đã cho luôn có hai nghiệm x₁; x₂ phân biệt với mọi m thuộc R

b. Áp dụng Viet, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m-1\right)\\x_1\cdot x_2=-2m-3\end{matrix}\right.\)

Theo đề ta có \(\left(4x_1+5\right)\left(4x_2+5\right)+19=0\)

⇔ \(16x_1x_2+20x_1+20x_2+25+19=0\)

⇔ \(16x_1x_2+20\left(x_1+x_2\right)+44=0\)

⇔ \(16\left(-2m-3\right)+20\left[-2\left(m-1\right)\right]+44=0\)

⇔ \(-32m-48-40m+40+44=0\)

⇔ \(-72m+36=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Vậy với m = \(\frac{1}{2}\)thì pt đã cho có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện \(\left(4x_1+5\right)\left(4x_2+5\right)+19=0\)

Answer 2

Answer 3

a) Ta có △\(=b^2-4ac=\left[2\left(m-1\right)\right]^2-4.1.\left(-2m-3\right)=4m^2-8m+4+8m+12=4m^2+16>0\)Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x₁,x₂ với mọi m thuộc R

b) Theo định lí Vi-ét với m\(\in R\), ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-2\left(m-1\right)}{1}=2-2m\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2m-3}{1}=-2m-3\end{matrix}\right.\)

Ta lại có \(\left(4x_1+5\right)\left(4x_2+5\right)+19=0\Leftrightarrow16x_1x_2+20x_1+20x_2+25+19=0\Leftrightarrow16x_1x_2+20\left(x_1+x_2\right)+44=0\Leftrightarrow16.\left(-2m-3\right)+20.\left(2-2m\right)+44=0\Leftrightarrow-32m-48+40-40m+44=0\Leftrightarrow-72m+36=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Vậy m=\(\frac{1}{2}\) thì \(\left(4x_1+5\right)\left(4x_2+5\right)+19=0\)