Question

cho phương trình: x^2-2(m+2)x+m^2+5m+4=0

a, chứng minh rằng với m<0 phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt x1,x2

b, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa hệ thức 1/x1+1/x2=1

Answer 1

\(\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(m^2+5m+4\right)=-m>0;\forall m< 0\)

\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm pb \(\forall m< 0\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)\\x_1x_2=m^2+5m+4\end{matrix}\right.\)

Để biểu thức đề bài xác định \(\Leftrightarrow x_1x_2\ne0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\m\ne-4\end{matrix}\right.\)

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1\Leftrightarrow x_1+x_2=x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+2\right)=m^2+5m+4\)

\(\Leftrightarrow m^2+3m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(l\right)\\m=-3\end{matrix}\right.\)