Question

Cho phương trình: x²-2(m-1)-3-m=0

a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghệm x_1, x₂ với mọi m.

b) Tìm m dể pt có hai nghiệm trái dấu.

c) Tìm m để pt có hai nghiệm cùng âm.

d) Tìm m sao cho hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁²+x₂²>_10.

e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁, x₂ không phụ thuộc vào m.

f) Hãy biểu thị x₁ qua x₂.

Answer 1

a) △' = b'² - ac = [-(m-1)]² - (-3-m) = m² - 2m +1 +3m + m = m² +2m +1=

(m+1)² ≥ 0 ∀ m

Vậy pt đã cho luôn có hai nghiệm x₁; x₂ với mọi giá trị của m.

b) Để pt có hai nghiệm trái dấu thì P<0 ⇔a*c <0 ⇔-3-m<0 ⇔m>-3

c) Để pt có hai nghiệm cùng âm thì \(\left\{{}\begin{matrix}S< 0\\P>0\end{matrix}\right.\left(\Delta\ge0\forall m\right)\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(m-1\right)< 0\\-3-m>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1< 0\\-m>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m< -3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -3\)

d) Áp dụng Vi-et, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1\cdot x_2=-3-m\end{matrix}\right.\)

Theo đề ta có x₁² + x₂² ≥ 10⇔ (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ ≥ 10

⇔ [2(m-1)]² - 2(-3-m) ≥ 10 ⇔ 4m² - 8m + 4 + 6 +2m ≥ 10

⇔ 4m² - 6m + 10 - 10 ≥ 0 ⇔ 4m² - 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥0

⇔\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2m\ge0\\2m-3\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2m\le0\\2m-3\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m\ge\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\m\le\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\frac{3}{2}\\m\le0\end{matrix}\right.\)

e) Ta có\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1\cdot x_2=-3-m\end{matrix}\right.\)( Vi-et)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\left(1\right)\\2x_1x_2=-6-2m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1) cộng (2) ta được x₁ + x₂ + 2x₁x₂ = 2m - 2 - 6 - 2m = -8

Vậy x₁ + x₂ + 2x₁x₂ = -8 là hệ thức giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc vào m

f) Ta có x₁+x₂ = 2(m-1) ⇒ x₁ = 2(m-1) - x₂

[ Câu f) mk chỉ hiểu rồi làm như thế thôi, có gì sai bạn thông cảm nha]