Question

Cho phương trình \(x^2-2\left(m-1\right)x-m-3=0\) ( x là ẩn số ). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn hệ thức \(x^2_1+x^2_2=10\)

Answer 1

Đề phương trình có nghiệm

=> \(\Delta'=\left(m-1\right)^2+m+3=m^2-m+4>0\forall m\)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1\cdot x_2=-m-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\)

\(\Leftrightarrow\left[2\left(m-1\right)\right]^2+2\left(m+3\right)=10\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)+2\left(m+3\right)=10\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+2m+6=10\)

\(\Leftrightarrow4m^2-6m=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(4m-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) (TM)