\(f\left(x\right)=x^2+\left(2m+1\right)x-m^2-m\)
Thần chú "trong trái - ngoài cùng"
\(1< x_2< x_1< 4\) nên 1 và 4 đều nằm ngoài khoảng 2 nghiệm nên f(1) và f(4) cùng dấu với hệ số a=1 (dương) nên f(1) và f(4) đều dương
Và trung bình cộng của \(x_1\) và \(x_2\) sẽ lớn hơn 1 đồng thời nhỏ hơn 4
Vậy ta sẽ được hệ điều kiện sau:
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\f\left(1\right)>0\\f\left(4\right)>0\\1< \frac{x_1+x_2}{2}< 4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2m+1\right)^2+4\left(m^2+m\right)>0\\1^2+\left(2m+1\right).1-m^2-m>0\\4^2+\left(2m+1\right).4-m^2-m>0\\1< \frac{-\left(2m+1\right)}{1}< 4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8m^2+8m+1>0\\-m^2+m+2>0\\-m^2+7m+20>0\\2< -2m< 5\end{matrix}\right.\)
Điều kiện thứ 2 cho ta \(-1< m< 2\), điều kiện thứ 4 cho ta \(-\frac{5}{2}< m< -1\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn
